frontières...
Bonjour, j'ai pas mal de mal avec ces notions. Si je comprends plus ou moins les def je ne sais pas concrètement comment les trouver.
Si quelqu'un peut m'expliquer avec un exemple simple par exemple:

A={(x,y) tq x>0 et y>= 0 }

Je suis capable de montrer que A n'est ni ouvert ni fermé. Je pense savoir que Adh(A)=[0,inf[^2 et Int(A)=]0,inf[^2 et que Front(A)=(0,0) mais je ne suis pas capable de le montrer...

Merci de votre aide

Adh(A) est le plus petit fermé contenant A. (R_+)² est un fermé contenant A donc il contient Adh(A). En outre, tout point de (R_+)² est limite d'une suite de points de A, donc (R_+)² est inclus dans Adh(A). Finalement, (R_+)²=Adh(A).

Pour Int(A), tu peux faire un raisonnement similaire (il s'agit du plus grand ouvert inclus dans A).

Front(A) c'est Adh(A) privé de Int(A)... et ce n'est pas (0,0)

c'est simple si tu prends un point X = (x,0) il n'existe pas a>0 tel que B(X,a) soit inclus dans A

En effet le point (x,-a/2) serait dans cette boule or il n'est pas dans A.
POur montrer que ce n'est pas un fermé soit tu montres que le complémentaire n'est pas ouvert
Ou alors tu dis juste que la suite de point Xn = (1/n,0) tend vers (0,0) et ce n'est pas un point de A donc Adh(A) =/= A donc A n'est pas fermé par caractérisation séquentielle d'un fermé

Ah excuse j'ai mal lu ton poste bon bah morphisme a tout dit

"Adh(A) est le plus petit fermé contenant A. (R_+)² est un fermé contenant A donc il contient Adh(A)"

Là je comprends, mais l'autre inclusion non.

Je ne comprends pas pourquoi si tout point de (R_+)² est limite d'une suite de points de A alors (R_+)² est inclus dans Adh(A).
De plus comment montrer que tout point de (R_+)² est limite d'une suite de points de A.

Et merci beaucoup pour vos réponses

Parce que a appartient à l'adhérence de A si et seulement si il existe une suite de points de A qui converge vers a. C'est l'une des définitions équivalentes de l'adhérence.

Pour montrer qu'une telle suite existe, on choisit un point (x,y) dans R+².
Si (x,y) appartient à A, il appartient clairement à Adh(A). Sinon, c'est que x = 0.
Dans ce cas il suffit de prendre la suite u_n = (1/n,y), qui est bien incluse dans A, et qui converge vers (0,y).