salut tout le monde ça fait longtemps... je sais pas comment ça se passe pour vous mais c'est dur pour moi la rentrée en MP j'ai l'impression qu'on a plus travaillé en 3 semaine que toute mon année de sup'...

Bref, je bloque sur de la méthodologie : comment on résout des équations dans Z/nZ???

le problème précis est :

"On considère l'équation (x²+23)(x^3-x-1)=0. Montrez qu'il n'a aucune racine dans Q. Que dire des solutions dans Z/nZ pour n entier?"

je sais que pour le degré 2 on imite la forme canonique et on discute de l'existence d'une racine carrée... donc faut que je sache si -23 est un carré. Et pour x^3-x-1 j'applique Cardan dans Z/nZ???

Up!

C'est un exo donné dans le cadre de ton cours? Ca me parait tout de même d'un niveau bien trop élevé...

J'y ai réfléchis un peu hier soir avant de me coucher et ça ne m'a pas l'air trivial du tout.

On remarque dans un premier temps que -23 n'est autre que le discriminant de x^3-x-1. Les formules de Cardan nous donnent les solutions de x^3-x-1=0 avec des racines cubiques et des racines carrées de 23/27.

La fonction cube a aussi le bon goût d'être une bijection de x^3-x-1 donc on a pas de problème d'existence de la racine cubique. Le soucis provient de l'existence de la racine carrée de 23/27 et de 23/27 lui même. Il y a donc beaucoup de cas à discuter, j'ai pas réussi à faire ça de tête hier peut être que j'aurais plus de temps avec du papier.

Toujours est-il qu'à mon avis on va avoir de la théorie de Galois dans les corps finis pour le cas où 23/27 n'est pas un carré pour montrer que -23 en est un.

une bijection de Z/nZ*

klaus non c'est pas dans notre cours c'est dans la revue RMS qui est censée être de niveau sup/spé non??

Désolé des écarts de réponse, beaucoup de boulot en ce moment.

La revue RMS n'a jamais réellement été de niveau prépa, elle cible les taupins certes mais plus dans un intérêt culturel que scolaire, même si sa lecture prépare bien aux concours type X/ENS (l'exercice de ce topic pouvant typiquement être donné à un oral d'ENS)

Je pense avoir fini par trouver une solution au problème:

Si -23 est un carré X²+23 a une racine et c'est réglé.

Si -23 n'est pas un carré et -3 non plus alors 23/27 = (-23)*(-3)/9² est un carré donc X^3-X-1=0 a une racine.

Si -23 n'est pas un carré mais que -3 en est un, c'est le cas difficile que je n'ai pas su résoudre sans passer par Galois. On raisonnement pour p premier (puis on étend à p^n et à n entier quelconque). On note S le produit des racines de X^3-X-1 dans un corps de décomposition k de ce polynôme. Alors S²=-23 (discriminant de X^3-X-1). S est de degré 2 sur k. Or k est de degré 3 sur Z/pZ (car il est de degré 3 ou 6 mais ne peut pas être de degré 6 sinon le groupe de Galois de X^3-X-1 ne serait pas cyclique ce qui n'est pas possible dans un corps fini). Il s'ensuit que S est en fait dans Z/pZ, si bien que X²+23 a bien une solution dans ce corps.

merci klaus je vais lire ca

"Si -23 n'est pas un carré et -3 non plus alors 23/27 = (-23)*(-3)/9² est un carré donc X^3-X-1=0 a une racine. "

Je comprends pas, c'est pas l'inverse? -23 et -3 ne sont pas des carrés donc (-23) * (-3)/9² non plus du coup le raisonnement tombe à l'eau.

Et comment tu traduis "sans utiliser de mots de Galois" la dernière partie de la preuve?

up! Si quelqu'un d'autre a compris la preuve de Klaus je veux bien qu'on me l'explique...

Re,

en attendant que Klaus trouve un peu de temps pour ce topic je pense avoir réussi à comprendre jusqu'à la partie Galois :

J'ai retrouvé un résultat qui dit que dans Z/pZ le produit de deux éléments qui ne sont pas des carrés est un carré. Ca explique pourquoi (-23)*(-3)*(1/9)² est un carré sous les hypothèses de Klaus. Par contre je n'ai pas de preuves de ce résultat et je ne sais pas quoi taper sous google pour avoir un truc pertinent (comment on appelle un élément qui n'est pas un carré?)

Quelqu'un a une preuve de ce lemme?

Salut Amandin,

pour une preuve du lemme, tu peux par exemple compter les carrés dans un corps fini... En tout cas c'est bien l'idée implicite de ma démo.

Pour la suite avec Galois, je pourrais surement m'essayer à une vulgarisation mais je tenterais plutôt de trouver une preuve sans Galois, je suis sûr qu'il y a un argument astucieux qu'on ne voit pas ça serait bien du genre de la RMS (a contrario de mettre de la théorie de Galois dans leur preuves)