Je suis face à un problème d'optimisation polynomiale en ingénierie que jarrive pas à résoudre. Le problème consiste à trouver une méthode qui permet de trouver le "polynôme le plus proche" d'une fonction donnée sur un intervalle donné.

Exemple :

On prend f(x)=racine carrée de (1+x). Le but est de trouver le polynôme P du premier degré (pour commencer, degré supérieur ensuite) tel que max|f(x)-P(x)| sur [0;3] (au pif) soit la plus petite possible?

Autrement dit, on regarde toutes les fonctions affines, on évalue leur distance maximale à f sur [0;3] et on choisit celle pour laquelle cette distance est la plus petite. A-t-on un algorithme qui permet de construire cette fonction affine et qui peut s'étendre à des polynômes de degré supérieur?

Bah oui. T'as un algo naïf qui peut se résumer comme ça :

- Variable "degré=n"
- Variabe "coeffs=(a0,...,an)"
- Trouver la valeur du max de |f-P| en fonction de a0,..,an (par un sous-algo, genre descente du gradient ou un bête calcul de dérivée)
- Optimiser cette nouvelle fonction Max(a0,..,an)
- Choisir les valeurs de a0,..,an correspondantes
- Afficher P

Méthode des moindres carrées?
x1=0 ,y1=1
x2=1 ,y2=sqrt(2)
x3=2 ,y3=sqrt(3)
...

tu cherche le minimum de la fonction

f(a,b)= (Somme de k=0..3) (y_k - a*x_k +b)

Hachino je parlais d'un algo. "mathématique" donc une méthode en fait j'aurais du appeler ca comme ca.

Jai ri de la reponse de hachino

Qu'est-ce qui différencie une suite d'instructions sur papier et les mêmes instructions en C/Python/autre ? Un algo "mathématique" comme tu dis revient à un algo tout court, suffit juste de s'adapter à la syntaxe de ton langage.

Pour le cas de x->V(1+x) qui a le bon goût d'être convexe, la droite qui min le max semble être celle située entre la corde extrémale et la tangente à la courbe qui lui est parallèle (dont l'existence est assurée par le théorème des accroissements finis)

Dans le cas de V(1+x) si mes calculs sont exacts on trouve une droite d'équation y=x/3 + 25/12 pour une distance max de 1/12

Je suppose que ça va s'étendre à toutes les fonctions convexes, par contre pour généraliser à des degrés supérieurs et des fonctions plus irrégulières, on en est loin... Je suis certain cependant que ça a déjà été fait et que le problème est réglé depuis longtemps par la communauté scientifique, reste à trouver une page internet qui en parle.

sur ton dessin c'est clair Klaus, mais on le prouve comment? Dejà si j'ai une preuve pour le degré 1 ça me va par contre mes fonctions sont pas convexes ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_l'approximation

Dans le lien d'iv555, s'intéresser particulièrement au lien vers l'algorithme de Remez qui répond exactement au problème du topic.