Plus simple et "scolaire" que le précédent :

Montrez qu'un polynôme à coefficients réels ayant autant de racines que son degré ne peut avoir consécutivement deux coefficients nuls dans son écriture ordonnée a0 + a1 x + a2 x² + ....

Par exemple 1+x^3+x^4 a au plus 3 racines.

racines REELLES bien entendu.

Un argument rapide.
Supposons par l absurde l existence d un tel polynôme de degré n.

Soit x_1,..., x_n ses racines.
Soit a_i ses coeff
Il existe j tel que a_j=a_(j+1)

On dérive P j fois.
Alors http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3Dj%7D%5E%7Bn%7D%20a_i%20%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%28i-j%29%21%7DX%5E%7Bi-j%7D%20%3D%20%5Csum%20%5Cprod%20%28X-x_k%29

En regardant en 0 on a à droite quelque chose de non nul (sinon au moins deux des racines valent 0) qui est égal à 0.
absurde

J ai fait l hypothèse que toutes les racines étaient distinctes...

Pourquoi le terme de droite est-il non nul ?

Et la généralisation.
Supposons par l absurde l existence d un tel polynôme P de degré n.

Soit b l ordre de multiplicité de 0.
Soit x_1,..., x_m les racines de P autres que 0 Comptées sans leur multiplicité.
Soit a_i ses coeff
Il existe j tel que a_j=a_(j+1)

Si b >= j , on dérive P b fois pour obtenir http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3Db%7D%5E%7Bn%7D%20a_i%20%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%28i-b%29%21%7DX%5E%7Bi-b%7D%20%3D%20K%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%28X-x_i%29%20+%20XQ
Où Q est un polynôme.
En appliquant en 0 on arrive à une absurdité.

Si b<j, on dérive j fois pour obtenir
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3Dj%7D%5E%7Bn%7D%20a_i%20%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%28i-j%29%21%7DX%5E%7Bi-j%7D%20%3D%20K%28%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%28X-x_i%29%29%5E%7B%28j-b%29%7D%20&amp;plus;%20XQ

Là encore c est absurde.

Bon oubliez, mais deux demos ne sont justes que si P admet 0 comme racine.

En revanche, si a_j=a_(j+1) alors P^(j)(0)=P^(j+1)(0)=0
0 est donc racine double de P^(j)
Or on montre facilement que P scindé simple => P^(k) scindé simple.

L'adjectif "polynomial" ne prend pas d'accent circonflexe

rooo ta gueule toi.

J'ai rédigé en latex parce que sinon c'est moche :

ptizap et GroupeCyclique c'est tout bon!