J'ai un trou, la dérivée est bien e^x + 1/x ?

oui

Comment peut-on dire que l'unique solution appartient à ]0.1;1]? Le corolaire du théorème des v.i indique seulement qu'il y a une unique solution.

ta fonction est définie sur ]0;+inf[, je l'appelle f.

Sur cet intervalle elle est strictement croissante, car somme de deux fonctions strictement croissantes (exp et ln). Pour la même raison elle est continue.
f(0,1)<0
f(1)>0
La stricte croissance et la continuité permette d'affirmer qu'il existe un unique réel a, compris en entre 0,1 et 1, tel que f(a)=0

Merci mec

"Le corolaire du théorème des v.i indique seulement qu'il y a une unique solution." cos(0) = 1, cos(1001 pi) = -1, donc par le théorème des v.i., il y a un unique x dans ]0, 1001pi[ tel que cos(x) = 0 ???

Sinon, f'(x) = e^x+1/x c'est clairement > 0 sur ]0, +inf[, donc f est clairement strictement croissante.