Bonjour,

j'ai lu qu'il n'existait pas d'application allant d'un ensemble dans ∅, et qu'il en existe une unique allant de ∅ dans un ensemble.

Première question : est-ce qu'il en existe une qui va de ∅ dans ∅ (à première vue, je dirais non mais je n'ai trouvé ça nulle part)

Deuxième question : quand on définit un magma (E,x), on ne précise jamais si E peut ou non être choisi vide. Est-ce que ça a un sens de le prendre vide ? (si la réponse à la première question est bien ce que je pense, qu'on le précise ou non, E ne pourra jamais être vide ?)

Enfin, j'ai des difficultés sur la notion d'intégrité d'un anneau. Certaines définitions demandent à l'anneau d'être commutatif ou non, d'être unitaire ou non, de ne pas être réduit à l'anneau nul ou non.

Est-ce qu'il y a une définition qui prévaut plus qu'une autre ? (sur wikipédia : commutatif unitaire non réduit à l'anneau nul)
Pourquoi ces nuances ? Si je ne me trompe pas 2Z est un sous-anneau de (Z,+,x), 1 n'appartient pas à 2Z et on a bien la condition produit nul => un facteur nul. Pourquoi on ne pourrait pas le qualifier d'intègre ?

Merci d'avance pour vos réponses !

Si il existe une unique application de l'ensemble vide vers l'ensemble vide, c'est l'application vide

L'ensemble peut être vide dans un magma oui mais bon aucun intérêt la aussi.

Pour ta dernière question il m'est arrivé le même problème. Mon prof l'avait défini comme commutatif mais en colle la meuf m'a catégoriquement répondu que non. Donc après ça ne reste qu'un conflit de définition.

Question : L'ensemble vide est bien un singleton ?

Sûrement pas, ne serait-ce qu'à cause des cardinaux.

Et si l'ensemble vide (on va dire A) est un sous-ensemble d'un ensemble non-vide (on va dire B), c'est pas non plus un singleton si on a une fonction f : A -> B ?

Une fonction qui part du vide, par définition, elle n'aura aucune image... vu que l'ensemble de départ ne contient aucun élément.

Et l'ensemble vide est défini comme quelque chose d'universel, car il est supposé dès l'origine contenu dans tout ensemble. Son existence est déjà un axiome en soi et il ne sera jamais un singleton, parce qu'un singleton contient un objet, qui n'a aucune raison d'être dans tout autre ensemble imaginable, comprends-tu ?

Okok merci j'ai compris

Sérieux extremum, avance toi sur le programme de Ts au moins, ça suffira je pense

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_int%C3%A8gre

{} n'est pas un singleton, mais dans P(E) on a le singleton {{}}.

Motor Hé vous avez fini de me faire la moral Je préfère m'intéresser à des choses plus complexes avec passion que d'avoir 18 de moyenne sans aucun plaisir

dans ce cas-là il faut aller à epitech transforme ta PASSION en EXPERTISE

Pour répondre à l'OP : tes deux premières questions font partis des ses questions inintéressantes. On définit des objets en maths pour que ceux-ci soit non vide, non nul et non réduit a l'élément neutre ! Il ne faut jamais perdre de vue que les définitions ne sont pas divines : on les a inventer pour quelles collent avec des phénomènes intéressant. Donc le plus souvent on se contrefiche de l'anneau nul et de l'ensemble vide.

Souvent on confond anneau intègre et anneau sans diviseur de zéro. Donc généralement on suppose un anneau intègre commutatif. Il faut mieux le voir ainsi parce que c'est le plus intéressant, ceci dit dans les sujets à l'écrits se sera je pense préciser et sinon à l'oral si tu as un doute tu ne perds rien à demander.

2Z n'est pas un sous-anneau de Z : il manque le neutre pour la multiplication. En effet on confond toujours anneau et anneau unitaire.

@Extremum : fais-toi les dents sur les Olympiades de maths. Ce sera plus productif que de passer du temps sur des choses qui te seront mieux expliquées après.

Nope, j'irai pas à Epitech

Une réponse possible :

L'existence d'une application du vide dans lui même est équivalente à la convention que 0!=1, elle même équivalente à la convention que 0^0=1.

Les considérer n'a généralement d'utilité que pour avoir à éviter d'éliminer des cas dans l'énoncé dans théorème ou d'une propriété. On peut très bien ne pas accepter ces conventions, mais c'est inutile.

Merci pour vos réponses