Bonsoir,
Quelqu'un a une méthode pour comprendre la récurrence une fois pour toutes ?

J'ai vraiment, mais alors vraiment du mal a piger le raisonnement.

En plus d'après ce que j'ai compris, c'est situationnel

Cordialement

Si je sais gravir les échelons un par un je sais parcourir toute l'échelle en gros

En faites les métaphores je l'ai bien compris

A vrai dire, le principe je le connais je le comprend pas même.

Mais c'est le raisonnement PAR CALCUL ou je me foire tout le temps

pour l'hérédité je te conseille de faire 2 choses avant tout

1) Ecrire ton hypothèse de récurrence

2) Ecrire ce que tu veux montrer

ensuite le cheminement est simple c'est le bac...

Pour le BAC ce sera plus simple qu'en exo de classe

Mais même si je n'ai pas compris

La recurrence c'est pas le plus compliqué pourtant

C'pas le plus simple non plus.. Avec le complexe j'ai aussi du mal. C'est surtout pour identifier les suites personnellement. J'pense qu'il faut que tu fasse plein d'exos, le plus possible pour que tu assimile bien

On va appeler n un entier QUELCONQUE H(n) une hypothèse au rang n. H(n+1) une hypothèse au rang n+1 donc.

Exemple: H(n): n est un entier

La récurrence, ça consiste généralement à montrer que si on H(n), on a H(n+1) avec un n QUELCONQUE.
Pour ce faire, on manipule des équations, on utilise des hypothèses, mais on suppose H(n) dans tous les cas. Mais ça, c'est de la "technique".

Bref, si que H(n) soit vrai implique que H(n+1) soit vrai, pour n QUELCONQUE, ça veut dire que H(n+1) implique H(n+2) parce que puisque n est quelconque, et que t'as montré H(n)=>H(n+1), ça veut dire que tu peux remplacer le n par ce que tu veux d'entier, donc H(n+1) marche.
Donc H(n+1) implique H(n+2)
Et ainsi de suite, H(n+2) implique H(n+3)...

C'est bien beau tout ça: on a montré que H(n) implique H(p) pour tout p>n

Mais si ça se trouve, H(n) est vrai pour aucun n, et le raisonnement avant se tient, mais ne sert à rien.

Il faut qu'on ait par exemple H(0) vraie. C'est ce qu'on appelle l'initialisation. Et à partir de là, grâce à ce que j'ai montré avant, H(1) est vraie, H(2), parce qu'ajouter 1 laisse l'hypothèse bonne, et donc par théorème démontré qu'on appelle le théorème de récurrence, H(n) est vrai pour tout n supérieur à 0 et entier.

(Le théorème de récurrence c'est ce qui justifie le truc intuitif, en gros)

tldr:

Hérédité: tu montres que quand un truc est vrai avec un certain nombre n, quand t'ajoutes 1 ça reste vrai. Vu que +1 est un certain nombre et que c'est vrai avec un certain nombre dans la première phrase, c'est vrai avec ce nombre +1, c'est vrai avec n+2, et ainsi de suite

Récurrence: tu vérifies que c'est vrai avec ce n pour que ça montre que c'est vrai avec les n entiers au dessus, c'est un peu le lien avec la réalité

tldr²: c'est la formalisation des bidouilles que tu fais pour voir si l'hypothèse est vraie avec les 2-3 premiers rangs.

En gros, comme un démontre toujorus une récurrence avec une équation, ou inéquation a la base, on rajouter +1 de chaque coté ?

Non, sinon tout serait vrai...

Tu pars du rang n, et à partir d'hypothèses, tu te débrouilles pour l'avoir au rang n+1. Regarde des exemples.

Souvent la récurrence c'est liés à une partie antérieur de ton exercice(partie A par exemple) de ton exercice où tu as étudié une fonction Souvent Un+1 ce n'est rien d'autre que f(Un) donc pour l'hérédité tu part de ce que tu veux montrer par exemple(bien sûre n'oublie pas l'initialisation)
4<Un<19
f(4)<f(Un)<f(19) car f est croissante par exemple
donc 4<f(4)<Un<Un+1<f(19)<19
Ensuite tu conclue.

Il faut toujours bien poser ce que tu SAIS, ce que tu SUPPOSES, et ce que tu dois MONTRER.

Tu dois toujours utiliser au cours de ton raisonnement, ce que tu sais et ce que tu supposes.
Il faut bien faire attention à ne pas utiliser ce que tu veux montrer.

La récurrence en gros, tu fixes la propriété à un rang n. Tu montres que cette propriété est vérifié au rang n+1, donc elle est vérifiée à n'importe quel rang.

Bon alors ecrire la propriete on va admettre que tu sais faire.
L'initialisaton c'est valider la propriete ci dessus pour le premier (le plus petit, u(0) par exemple) terme.

Heredite cest verifier la propriete au rang n+1 ou k+1
Pour ce faire tu pars du fait que la propriete est vraie pour n.
Maintenant tu dois regarder par quoi tu dois multiplier ou ajouter au rang n pour passer au rang n+1.
Exemple pour passer d'un rang a un autre
U(n) = 3n +2 donc u(n+1) = 3(n+1) + 2 pour passer de u(n) a u(n+1) tu dois ajouter 3.
Une fois que tu as obtenu ton u(n+1), tu regardes si ta propriete est vrai pour u(n+1).

Exemple :
U(n) = n^2 + 3 avec n> -1
MONTREZ PAR RECURRENCE QUE LA SUITE u(n) > 0

Ce que tu dois repondre :
P(n) : u(n) > 0
INITIALISATION :
Pour n=0
u(0) = 3 > 0
P(0) est vraie.

HEREDITE : Soit k {tu peux dire soit n si tu preferes} un entier naturel tel que u(k)>0
{tu exprimes u(k) sous sa forme algebrique afin de passer a u(k+1)}
k^2 + 3 >0 {maintenant tu vas passer du rang k au rang k+1}
{u(k+1) = (k+1)^2 + 3 = k^2 + 2k + 4 , il faut donc que tu passes de k^2 +3 a k^2 + 2k + 4}

k^2 +3 >0 [ +1 ]
k^2 +4 >1 [ +2k >0, important de le preciser]
k^2 + 2k + 4 > 1 + 2k >0 {k^2 + 2k + 4 = u(k+1)} <=> u(k+1) > 1+ 2k > 0
P(k+1) est vraie.

Conclusion : Pour tout n > -1, u(n) > 0.

Fin de l'exemple.
Ce que j'ai mis entre {} sont des indications pour toi a ne pas remettre sur ta copie.

Il faut qu'en partant du rang n tu arrives au rang n+1. N'hesite pas a noter sur ton brouillon quelle est la valeur du rang n+1 afin de faire les bonnes etapes lors de l'heredite.

Si tu n'as pas compris quelque chose a mon message dis moi quoi, j'essayerai de t'expliquer autrement.

Dsl pour la syntaxe, je suis sur mon portable.

Bonne nuit et revisions !
Moi je les commence demain perso (je suis nevrose haha!)

perso je vois plus ça comme des dominos qui se font tomber les un les autres

pour faire simple l'idée c'est:
1-tu montres que ta propriété est vraie à un rang fixé(souvent le premier)
2-tu montres que si elle est vraie à un rang quelconque elle sera vraie au suivant

avec le 1- tu t'es assuré de pouvoir commencer ta boucle,t'as un rang à partir duquel c'est vrai,avec 2- t'as l'assurance que ça sera vrai au suivant,puis au suivant du suivant,puis au suivant du suivant du suivant...

Alors 125cc tu as compris ?

k^2 +3 >0 [ +1 ]
k^2 +4 >1 [ +2k >0, important de le preciser]
k^2 + 2k + 4 > 1 + 2k >0 {k^2 + 2k + 4 = u(k+1)} <=> u(k+1) > 1+ 2k > 0
P(k+1) est vraie.

Je fais un petit Up car je ne comprends pas à partir de cette étape la "k^2 + 2k + 4 > 1 + 2k >0 {k^2 + 2k + 4 = u(k+1)} <=> u(k+1) > 1+ 2k > 0 "

Merci