Que vaut la somme des card(X inter Y) pour X et Y décrivant l'ensemble des parties d'un ensemble E à n éléments?

Plus littéralement : Je fais l'intersection deux à deux de toutes les parties d'un ensemble fini E, je calcul le cardinal des parties obtenus et je somme ces cardinaux. Qu'obtiens-je en fonction de card(E)?

Bonne réflexion!

Pas de chance, ça ne vaudra jamais 4!

Elle vaudra toujours n+1

Motordragon3, pour n=2 déjà ça ne va pas. Attention à ne pas oublier les cas symétriques.

C'est quoi un cardinal ?

Et là je regrette d'être en PCSI

Pour n=2 c'est 2
Pour n=3 c'est 12 ?

15 plutot

Pour les parties de {1,2,n}

parkas_1 comment obtiens-tu 2 pour n=2?

Chaud les trolls
Motor fait pas genre,t'as 9 en maths en T°S

A tout hasard, n*4^n ?

Pardon, je voulais dire n*4^(n-1) !

BaikenShishido : Correct!

Une preuve du résultat? (La plus simple possible bien entendu )

La méthode que j'ai utilisé n'est probablement pas la plus simple :

Soient i appartenant à 〚0,n〛, X et Y deux parties de E telles que card(X∩Y)=i.

Soit j appartenant à 〚0,n-i〛tel que card(X)=i+j.
Il y a j parmi n-i manières de choisir ces j éléments.

Lorsque les j éléments de X-Y sont déterminés, on a une liberté de k éléments de Y qui ne sont pas dans X (entre 0 et n-i-j donc) parmi n-i-j. On les somme tous pour k allant 0 à n-i-j et on le multiplie par la quantité précédente (j parmi n-i).
En sommant alors cette nouvelle quantité pour j allant de 0 à n-i, on obtient le nombre de manière de choisir les j éléments de X et les k éléments de Y qui ne sont pas dans X∩Y.

Il suffit alors de multiplier ceci par i parmi n pour avoir le nombre de possibilité d'avoir une intersection à i éléments. En remultipliant par i, on obtient la somme des cardinaux des intersections à i éléments, et il suffit de sommer cette quantité pour i allant de 0 à n.

Ensuite, c'est plein de binômes de Newton qui apparaissent, et ça se simplifie... mais j'avoue que l'explication est pas évidente à l'écrit

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[Mian] | 14 juin 2013 à 18:21:15

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Et ? Je tente. Puis ma moyenne à l'année ne représente pas mon réel niveau, j'ai juste rien foutu.

BaikenShishido tu as surement choisie une des preuves les plus chiantes à écrire mais ça marche!

Motordragon3 tu as bien raison d'essayer!