je sors de mon partiel de théorie de la mesure ce matin j'ai bloqué sur une question surement toute bête mais même avec mon cours j'arrive pas à savoir ce qu'il faut écrire :

Q : A l'aide du théorème de Fubini-Tonelli redémontrez que le graphe d'une fonction borélienne de R dans R+ est mesurable de mesure nulle.

Comment utiliser Fubini pour calculer la mesure d'un graphe??

Tu intègres la fonction indicatrice de ton graphe sur R*R+ et tu sépares les variables avec Fubini.
(faut montrer que le graphe est mesurable avant)

C'est bien ce que j'ai essayé de faire mais je trouve une mesure infinie avec ça.

J'ai noté G=g^{-1}({0}) où g(x,y)=y-f(x), la mesure du graphe est int(1G dmu)=int(in(1G(x,y)dy)dx)

mais int(1G(x,y)dy)=mu({f(x)})=1 et donc je me retrouve avec l'intégrale de 1dx sur R+ qui est infinie...

Le mesure borélienne d'un singleton c'est 0

c'est vrai des points perdus bêtement alors que j'avais presque la réponse...

il ya une deuxième question sur laquelle j'ai bloquée mais celle là je pense qu'elle est plus difficile (elle était en bonus) :

Q : (mu est la mesure de Borel sur R) Montrer qu'il n'existe pas de partie mesurable X de [0;1] telle que mu( X inter I)=mu(I)/2 quel que soit le sous-intervalle I de [0;1]

indication : Considérer la mesure dont la densité par rapport à la mesure de Borel est donnée par la fonction indicatrice 1A de l'ensemble A.

C'est la première fois que je rencontre un énoncé ou l'indication est plus décourageante qu'encourageante, j'ai rien compris!!!

A c'est X dsl

Ca fait un bail que j'ai pas fait de théorie de la mesure mais voila ce que je pense de l'indication :

mu a une fonction de répartition F nulle sur ]-oo;0[, égale à x/2 sur [0;x[ (car = int(1X dmu) sur [0;x[ = mu(X inter [0;x[)) et à 1/2 pour x > 1.

Pour conclure il faut comprendre que cette fonction de répartition est aussi celle de la mesure (absolument continue par rapport à mu) dont la densité est donnée par f(x)= 1/2 sur ]0;1[ et 0 ailleurs. (En effet on remarque qu'on a bien F'=f p.p et int(f(t), t=-oo..x)=f(x)).

Deux mesures qui ont même fonction de répartition sont égales donc la densité de mu serait donnée par f et on aurait 1X(x)=1/2 pour presque tout x de ]0;1[ ce qui est évidemment absurde.

Tout compris merci KlausVS