Bon voilà, avec mon cousin, on a tenté de "jouer" avec des logarithmes népériens de nombre négatifs et ça donne ça pour l'instant:

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Bon bien sûr, on se doute que d'autres personnes ont déjà essayé de faire ce genre de choses, mais ça nous passionne, alors fait des essais

ya un problème dés le départ :

exp(i pi)=-1 ok mais exp(3 i pi) = -1 aussi donc pourquoi prendre ln(-1)=i pi et pas 3 i pi?

En fait, on pense créer une nouvelle fonction définie comme lt(x) = ln(-x) + i * pi définie sur ]-l'infinie;0[

Bah la dérivée donne f'(x) = -1/x
et si on réintègre on obtient F(x) = ln(-x) + k avec k € R

En effet, il y a un problème dès le départ.
L'exponentielle complexe possède des propriétés supplémentaires (puisque c'est un prolongement de l'exponentielle réelle à la variable complexe), on peut donc s'attendre à ce que le log complexe (s'il est possible de le définir) possède une autre définition dans le monde des complexes.

Moi aussi je m'étais intéressé au sujet quand notre prof nous en a un peu parlé cette année mais il nous a dit que c'était "compliqué à mettre en place", jsuppose qu'il sous-entendait que c'est pas facile de trouver une définition propre d'un log complexe.

Par contre maintenant que ce topic me fait me pencher de nouveau sur la question jviens de penser à un truc : J'ai lu vite fait des histoires d'intégrale dans C avec Cauchy et compagnie. Pourrait-on comme dans R voir le logarithme complexe comme une primitive de la fonction inverse complexe z->1/z ? Jsais pas si ça a trop de sens de considérer ça.

Tu peux, tu vas juste retomber sur le problème des 2iPi mais avec un fond plus rigoureux.

Tout comme dans R, dans C tu as des dérivées, des primitives et des intégrales, à ceci près que posséder une primitive est une condition bien plus forte que dans R, où la continuité est suffisante.

Par exemple, si tu veux définir le log d'un complexe non nul et non réel, une idée possible serait d'intégrer. Bon, mais sur quoi ? Vu que le complexe est non nul et qu'on connaît le log sur les réels, on pourrait penser à un arc de cercle joignant un réel à ton complexe.

Le souci, c'est que tu as deux choix possibles pour ton arc de cercle : rien ne t'empêche de le faire passer "par dessous" ou "par dessus" 0... ce qui donne deux valeurs différentes pour ton log, qui diffèrent de 2iPi. Ce 2iPi, tu le retrouves encore en intégrant 1/z sur un cercle autour de 0 (en passant en polaires), en fait il vient de là.

Pour continuer sur cette histoire de cercle, observe que si tu pouvais définir convenablement un log complexe, en repassant à l'exponentielle, tu pourrais déterminer de façon "raisonnable" un unique argument d'un complexe. Or, l'argument d'un complexe n'est même pas continu !

Et ln(i) fait combien à votre avis?

Hachino merci pour l'explication je pense que j'ai compris cette histoire de tourner autour de zéro mais c'est encore assez obscure.

A partir de quel niveau voit-on l'intégrale complexe? En spé on commence à en parler?