Slt

Peut-on me donner juste un indice ou une piste pour l'exo suivant (niveau L3) :

Z^N est l'ensemble des suites de N dans Z.
f : Z^N -> Z un morphisme de groupe

On suppose que f s'annule en toute suite de Z^N qui ne prend qu'un nombre fini de valeur.

Montrer que f = 0.

Déjà on est bien d'accord que "ne prend qu'un nombre fini de valeurs" veut dire que card{u(n), n dans N} est fini c'est ça? Du coup je voudrais bien exprimer n'importe quelle suite en fonction de suites dont l'image est finie mais je ne parviens pas à trouver de décomposition utilisable...

Des idées? Merci d'avance.

Ben c'est facile, f est continue et l'ensemble des suites qui prennent un nombre fini de valeur est dense donc f = 0

(c une blague hein ca a aucun sens tout ça ici mais ça serait bien que ça en ait un!)

Ya peut être une preuve topologique mais alors là faut même pas me demander...

C'est censé être un exercice classé dans la catégorie "arithmétique" de mon recueil d'exos si ça peut aider à savoir vers quel raisonnement partir.

L'idée naïve d'Amandin est en fait la plus naturelle : On munit Z^N de la topologie produit, pour cette dernière f est continue (comme forme linéaire sur un Z-module) et l'ensemble des suites qui ne prennent qu'un nombre fini de valeur est bien dense donc si f s'annule dessus c'est qu'elle est identiquement nulle.

C'est cool de pouvoir dire des trucs intéressant en pensant dire une connerie. C'est plus souvent le contraire qui se passe généralement!

Bon par contre j'ai rien compris aux histoires de topologie des produits et compagnie, normal.

Je pense avoir trouvé une preuve arithmétique :

On montre facilement que si p est un entier tel que p^n divise u(n) pour tout n alors p^m divise f(u) quel que soit m, si bien que f(u)=0.

Si p et q sont deux entiers premiers entre eux il existe deux suites v(n) et w(n) tels que pour tout n p^n.v(n)+q^n.v(n)=1 (Bézout)

Alors u(n)=(p^n.v(n).u(n))+(q^n.v(n).u(n)) qui est la somme de deux suites divisiblent respectivement par p^n et q^n quel que soit n, donc leur image par f sont nulles donc celle de u aussi.