salut,

comment passer d'une limite de fonction a une limite de suite associée?

J'ai la fonction f(x)=tan(x)/x. On me demande d'évaluer le comportement de f(x) quand x tend vers +oo. (Je conjecture que f n'a pas de limite mais je n'arrive pas à le montrer...).

Puis on me demande le comportement de la suite f(n) quand n tend vers +oo. Si j'arrive à montrer que f(x) n'a pas de limite pourrais-je conclure la même chose pour f(n)?

Merci Blue-Koala. On peut pas trouver un critère pour que la réciproque soit vraie? Par exemple si f est continue?

f peut être Cinf sans que ce soit vrai, genre sin(pi*x)

Pour justifier que tan(x)/x n'a pas de limite, tu peux dire que f(n*pi)=0 pour tout n entier non nul et vu que tan réalise une bijection de ]n*pi,n*pi+pi/2[ dans R+, tu peux trouver, pour tout n, x_n€]n*pi,n*pi+pi/2[ tel que x_n=1. Tu as trouvé deux suites de réels tendant vers l'infini dont les images par f tendent vers deux valeurs différentes, f ne peut donc pas avoir de limite.

Il me semblait bien que j'avais rédigé trop vite

L'important c'est que f réalise une surjection de [n*pi,n*pi+pi/2[ dans R+, et c'est le cas car f est continue sur cet intervalle, avec f(n*pi)=0 et lim f(x) en n*pi+pi/2=+inf.
Et tu as donc x_n tel que f(x_n)=1

J'avais bien vu que f repassait une infinité de fois par 0 ce qui empêchait qu'elle converge mais j'arrivais pas à justifier, merci Morphisme!

Par contre on peut pas la généraliser à tan(n)/n si je me trompe pas.

J'ai pas le temps d'y réfléchir mais je vois pas comment ça pourrait admettre une limite
Aurait-on d'ailleurs {tan(n)/n} dense dans R ?

dense dans R? Elle serait pas plutôt bornée??

Elle est compliquée cette suite, c'est bien le genre de mon prof de nous demander de nous pencher dessus...

J'ai posé la dernière question parce que ça me rappelle un problème que j'avais vu sur math.stackexchange, dans lequel les intervenants se demandaient si {n.sin(n)} était dense dans R. Je crois me souvenir que même les fous de là-bas n'avaient pas de réponse

Ta suite n'a pas l'air évidente en effet, tu as Z+pi*Z dense dans R donc tu vas pouvoir rendre le numérateur aussi petit/grand que tu veux en allant assez loin dans les entiers, mais en faisant ça tu vas aussi augmenter le dénominateur... Il faut peut-être étudier la "vitesse" d'approximation d'un nombre de la forme n*pi+pi/2 par un entier, i.e. trouver le plus petit entier k_eps tel qu'il existe n vérifiant |k-n*pi-pi/2| < eps. Ca doit être relié à l'approximation de pi par des rationnels

Mais si la seule chose que tu dois étudier est la nature de la suite, il y a peut-être plus simple.

La question telle qu'elle est exactement posée est : "ET que pensez-vous de la limite de la suite f(n)?"

Mais il est possible que le prof ne s'attende qu'à une piste de réflexion de notre part et non une preuve complète comme c'est souvent le cas. Le problème c'est que je n'ai pas même de piste de réflexion sur le sujet...

Je pense qu'il y a moyen de prouver sans trop de difficulté que si limite il y a, elle ne peut être infinie.
En effet, cela reviendrait à dire que pour tout M>0, à partir d'un certain rang, |tan(n)| >= nM, et donc il existe un entier k tel que |n-(2k+1)*pi/2| <= pi/2 - Arctan(nM), et donc la distance de n à pi/2 + pi*Z est inférieure au membre de droite. C'est absurde : en prenant M assez grand, on peut rendre le terme de droite inférieur à 1/4 et on a alors d(n, pi/2 + pi*Z) <= 1/4 => d(n+1, pi/2 + pi*Z) >= 3/4.

Salut tout le monde,

on peut montrer directement que f(n) n'admet pas de limite mais ce n'est pas évident. On peut s'en sortir à l'aide de quelque résultats "forts" sur les nombres irrationnels, notamment le fait qu'il existe une infinité de couple d'entiers (p,q) tel que distance(1/pi , p/q) < 1/q².

Avec ce seul résultat on peut prouver que la suite n'a pas de limite mais il n'est pas évident à prouver (on peut passer par la décomposition de pi en fractions continues)