Salut!

j'aimerais résoudre celle-ci

y'= t*y² -t

donc déjà on a solution particulière = 1

Mais après , avec la MVC je n'aboutis à rien.

Pouvez-vous m'aider?

Salut,

c'est une équation de Riccati. Tu fais un changement de variable du type z=y-y0 où y0 désigne une solution particulière.

Tu arrives à une équation de Bernoulli, c'est-à-dire de la forme z'=a(x)*z^n +b(x)*z, et ici le changement de variable à faire est w=z^(1-n)=z/z^n.

Pourquoi se compliquer la vie ? Tu connais une solution particulière, tu n'as donc qu'à résoudre l'équation homogène associée à ton e.d. (par la méthode de séparation des variables) et la solution générale de ton e.d. sera la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation homogène.

Si je n'ai pas fais d'erreur je trouve
y(t) = (1/(C*e^(-t²)-1/2)) + 1, avec C une constante réelle.

Et j'ai une question, on remarque aussi que -1 est solution particulière et donc avec ça je trouve y(t) = (1/(K*e^(t²)+1/2)) - 1, avec K une constante réelle.

Comment passe t'on d'une forme à l'autre ?

Hum, tu ne sais pas résoudre une équation différentielle j'ai l'impression...

Tu peux détailler comment tu trouves ta solution homogène ?

Ce qu'il a trouvé correspond bien à la solution avec la méthode que j'ai détaillé (du moins pour la première, j'ai pas vérifié la deuxième)

Oublié ce que je viens de dire !

Pour répondre à Kaameloott :

en faisant de bonnes transformations dans les expressions, tu devrais trouver qu'elles sont égales pour K=-1/(4C) (sauf erreur de ma part, j'ai fait ça assez rapidement) donc en supposant K et C non nulles

Exact je viens de vérifier et ça marche, merci maintenant j'ai compris le truc.

Merci! Est-il possible de détailler tes étapes Kaamelott?

y'=ty²-t
On pose z=y-1, donc
z'=y'=ty²-t=t(z+1)²-t=tz²+2tz.

On va chercher une solution z qui ne s'annule jamais, ie une solution y qui ne vaut jamais 1 (si elle vaut 1 quelque part, par Cauchy-Lipschitz, toussa toussa, y=1 nécessairement).

Donc, on a z'/z²=t+2t/z.
On pose w=1/z, donc
w'=-z'/z²=-t-2t/z=-t-2tw

C'est une équation linéaire que tu sais résoudre. Une fois que tu as l'expression de w, tu trouves la première expression de Kaamelott pour y en faisant les changements de variables inverses.

Finalement, les solutions sont y(t)=1 et y(t)=(1/(C*e^(-t²)-1/2)) + 1 où C parcourt R.