Salut,

auriez-vous une idée pour résoudre l'exercice suivante :

Dans cet exercice, on note D l'opérateur de dérivation : D(f)=f'

Soit P un polynôme de C[X]. Trouvez une CNS sur les zéros de P pour que :
Pour toute fonction f : R -> R de classe C^{oo} : lim P(D)(f)(x) = 0 => lim f(x)=0

(les limites étant quand x tend vers +oo)

Déjà, je comprends même pas ce que signifie P(D)(f)(x) ?? Et surtout, on est dans le chapitre équation différentielles et je vois pas le rapport avec les équadiffs...

Help please je déteste ne rien bitter à un énoncé

P(D(f)) c'est un polynôme de fonctions,en gros si ton polynôme c'est X²+X
P(D(f)) ça sera D(f)²+D(f),après tu le prends en x ça te donne une expression en x

sinon j'ai pas trop envie de chercher une solution (désolé )
mais je pense que tu devras utiliser ça:
-si tu dérives un polynôme le terme constant disparaît
-il y a unicité des coefficients du polynôme

bonne chance

Salut Serial_Bideur, ce n'est pas P(D(f)) mais P(D)(f) c'est ça qu'est bizarre.

Par exemple si P(X)=X²+X comme tu dis, peux-tu me dire si tu as compris ce que représente la quantité "P(D)(f)(x)" ???

slt,

je crois que j'ai compris l'exercice mais jsuis bien incapable d'y apporter une réponse.

jpense qu'on peut le rapprocher d'une exercice du type :

"montrer que si f(t)+f^(3)(t) tend vers 0 quand t->+oo alors f(t) aussi" (f^(3) = dérivée 3ème)

ton exercice veut généraliser ce genre de résultat.

P(D)(f)(t) c'est une expression polynomiale en f(t) et ses dérivées, comme dans f(t)+f^(3)(t). Par exemple si P(X)=X²+X alors P(D)(f)(t)=f''(t)+f(t).

Merci Jooord j'ai compris l'énoncé avec ton explication je crois. Et effectivement dans le DM on avait à résoudre l'exercice type que tu donnes entre guillemet (sauf que c'était f^(4)(t)).

Donc en fait le but est de trouver toutes les expressions du type "combinaison linéaire de f et de ses dérivées" telles que si ces expressions tendent vers 0 alors f aussi?

mais du coup je vois toujours pas le rapport avec une équadiff?

Soit P un polynôme de C[X]. Trouvez une CNS sur les zéros de P pour que :
Pour toute fonction f : R -> R de classe C^{oo} : lim P(D)(f)(x) = 0 => lim f(x)=0

déjà essaie de partir de ça :
Si tu poses g = f^(n) + an-1f^(n-1) + ... + a0.f0

On a g -> 0

f = solution particulière + somme Qi.exp(bi.x) où les Qi sont des polynomes et les bi les racines complexes de P

J'imagine qu'il faudra que les bi soient de partie réelle strictement négative

ben le rapport c'est que si f(t)+f^(4)(t) tend vers 0 quand t tend vers +oo alors f(t)+f^(4)(t)=e(t) où e(t) est une fonction qui tend vers 0 quand t->+oo.

Or pour avoir un résultat sur f(t), il "suffirait" de résoudre l'équadiff f(t)+f^(4)(t)=e(t) tu vois ce que je veux dire?

mais encore une fois j'ai aucune réponse à apporter pour le moment.

iv555 comment tu as l'intuition qu'ils devraient être de partie réelle < 0??? Ce serait le seul moyen pour que f= sol. part. + somme des Qi exp(bi x) tende vers 0 c'est ça?

ouaip

je te conseille de prendre une base de solutions (ei) de l'équation homogène et d'écrire f = a1(t)e1(t) + ... + an(t)en(t) comme ça t'as une écriture explicite et ensuite de déterminer les ai grâce à un déterminant essaie de voir je sais pas trop

iv555 bien vu.

Si bi est une racine de P alors x->exp(bi.x) est une solution de l'équation P(D)(f)(x)=0. Par hypothèse on devrait donc avoir exp(bi.x) qui tend vers 0 donc Re(bi) < 0.

La condition est nécessaire, reste à prouver qu'elle est suffisante...

ah j'avais aussi oublié de l'existence de l'exponentielle matricielle, tu connais? tu as la solution explicite de l'équation en utilisant l'expo vu qu'on a une équa diff à coeff homogènes

et les valeurs propres de l'expo matricielle c'est juste les exponentielles des valeurs propres de la matrice associée à ton équa diff

j'ai pas vu l'exp de matrice encore, c'est au programme de spé?

euh c'est à la limite du programme en tout cas^^ moi je l'avais vu à l'époque

le truc c'est que dans le cas où toutes les racines sont à partie réelle strict négative il faudrait résoudre implicitement l'équa diff en f pour avoir une estimée de f

par contre la réciproque est facile, si l'une des racines est de partie réelle positive ou nulle c'est facile de trouver un contre exemple

j'ai vu qu'on pouvait se ramener à une équadiff du premier degré matricielle en posant F(t)=(f(t),f'(t),....,f^(n-1)(t)), c'est à partir de là qu'on fait intervenir l'exponentielle de matrice si j'ai bien compris pour résoudre cette équadiff matricielle?

jvais regarder une cours sur l'exp

tu as raison et sinon ce que tu peux faire avec ton système :

si F = a1(t).E1(t) + ... + an(t).En(t) : tu veux résoudre donc F' = PF + B

où F = (f,f',...f^(n-1)) la solution que tu cherches et Ei = (ei,...ei^(n-1)) avec les ei la base de solution (Ei' = PEi), P est la matrice associée à ton système et B = (g,0,0,..0)

tu remarques que F' = a1'E1 + ... + an'.En + (a1.E1'(t) + ... + an.En'(t))
= a1'E1 + ... + an'.En + (a1.PE1 + ... + an.PEn)
= a1'E1 + ... + an'.En + P.F

Donc a1'E1 + ... + an'.En = (g,0,0,...,0)

ce qui te donne avec les formules de cramer les valeurs de ai'(t) donc ai(t) par intégration

Merci beaucoup iv555 je pense que je vois le cheminement je vais essayer de faire ça au propre.