Salut, j'ai vraiment du mal avec cet exo.

http://puu.sh/2Ux87.png

Lien suspect.

Non pas le moins du monde.

k impair, tu initialises avec k=3

Et là t'as une somme que tu es censé connaître :
somme(k=0 à n) k^3 = (n²(n+1)²)/4

ensuite...

Tu peux dire que k = 2p+ 1 avec p un entier naturel.

Tu fais une récurrence sur p,
Pour l'initialisation : p = 0, ça te donne 1 + 2 +...+ n = n(n+1)/2 donc forcément c'est divisible par n(n+1)/2

Pour l'hérédité :

1^(2(p+1)+1) + 2^(2(p+1)+1) + .... n^(2(p+1)+1)
= 1^(2p+1)) + 2^(2p+1) + .... n^(2p+1) + 2(1+2+...+n)
= 1^(2p+1)) + 2^(2p+1) + .... n^(2p+1) + n(n+1)

Par hypothèse de récurrence tu as que 1^(2p+1)) + 2^(2p+1) + .... n^(2p+1) est divisible par n(n+1))/2 et de plus (n(n+1)) est divisible par n(n+1)/2

merci, mais j'en demandais pas tant ^^

1^(2(p+1)+1) + 2^(2(p+1)+1) + .... n^(2(p+1)+1)
= 1^(2p+1)) + 2^(2p+1) + .... n^(2p+1) + 2(1+2+...+n)

Euh cette égalité est fausse.

On est d'accord

J'ai essayé avec une récurrence sur n :
-initialisation évidente
-pour l'hérédité, je sépare les cas n pair/impair.

Je note S(n) la somme des i^k où i varie de 1 à n.

Par exemple, si n impair, comme (n+1)/2 divise S(n), il divise aussi S(n+1).

Il faut maintenant montrer que n+2 divise S(n+1). Pour ça, j'ai utilisé le binôme de Newton sur (n+1)^k=[(n+2)-1]^k ce qui est égal à -1 plus une quantité divisible par n+2.
S(n+1) = S(n)+(n+1)^k = S(n)-1+(n+1)^k+1

Reste à montrer que S(n)-1 est divisible par n+2, encore en jouant avec le binôme de Newton dans la somme S(n) pour faire apparaître du n+2.

Finalement, comme n+2 et (n+1)/2 sont premiers entre eux, leur produit divise S(n+1).

Le cas n pair est à peu près identique.

J'ai fait une rédaction à peu près propre de la récurrence. Je pourrai la scanner demain si ça t'intéresse

En effet ça ne marche pas du tout ce que j'ai fais.

Oui na récurrence porte sur n et non sur k, si je comprend s bien l'exo.

C'est bon j'ai réussi!