Bonjour à tous !

J'ai un exercice où je dois calculer les dérivées premières et secondes de g en fonction des dérivées première et secondes de f où g est définie par g : R^2 -> R : (x1, x2) -> f(x1 + x2, x1x2).

Je pose u(x1, x2) = x1 + x2 et v(x1, x2) = x1x2.

Ainsi,

dg/dx1 = df(u(x1, x2), v(x1, x2))/du + df(u(x1, x2), v(x1, x2))/dv * x2.

Ma question est : puis-je aller plus loin dans mon calcul ?

Et comment calculer les dérivées secondes ?

Merci pour votre aide !

Et bien sûr f : R^2 -> R est une fonction de classe C2 !

Peut-être :

d^2g/dx1^2 = df(u(x1, x2), v(x1, x2))/(dudx1) + df(u(x1, x2), v(x1, x2))/dvdx1 * x2.

Ai-je raison ?

Salut

Ok pour dérivée 1ère.

Je ne suis pas certain de moi, mai sje te propose ceci :
Concernant les dérivées suivantes, il faut bien voir un truc comme tu l'as marqué : de quoi dépends la fonction que l'on dérive.

∂g/∂x1 = ∂f/∂u + x2.(∂f/∂v)
Effectivement, ∂f/∂u(u;v) est une fonction de u et de v, comme la fonction f(u;v).

Donc : ∂f/∂u se comporte comme f par rapport aux dérivées partielles.
∂²g/∂x1² = (∂/∂x1)(∂g/∂x1) = (∂/∂x1)(∂f/∂u + x2.(∂f/∂v))

Or ces fonctions ne dépendent de x1 qu'implicitement via u et v.Donc pour dériver par rapport à x1, il faut dériver les fonctions u et v qui dépendent de x1.
On procède comme pour g.

Pour le 1er terme ∂f/∂u :
(∂/∂x1)(∂f/∂u) = (∂/∂u)(∂f/∂u)(∂u/∂x1) + (∂/∂v)(∂f/∂u)(∂v/∂x1)

Merci pour ta réponse ! Je vois ça demain l'esprit reposé !