Bonjour,

j'ai des difficultés à montrer qu'une suite de variables aléatoires converge ou non presque sûrement vers une variable aléatoire.

Voilà un de mes exercices :
pour tout n dans N*, on considère Xn une Bernoulli de paramètre 1/n, montrez que Xn ne converge pas ps vers 0.

Dans la correction, on prends e(psilon)>0 et on considère les événements An={|Xn|>e}={Xn>e}, on montre qu'ils sont 2 à 2 indépendants pour utiliser le lemme de Borel-Cantelli car la série de terme général P(An)=1/n diverge vers +oo.
On en déduit que P(limsup An)=1.

Et à partir de là, je ne sais pas quoi faire...

Merci d'avance pour votre aide !

Tu aurais pas que p(limsup An) = 0 d'une autre manière?

On peut prendre epsilon égal à 1/2 par exemple, donc An={Xn=1} puisque une Bernoulli ne prend que 0 ou 1 pour valeurs.
On arrive donc à P(limsup An)=1, ce qui veut dire que l'évènement "les w qui vérifient, pour une infinité de n, Xn(w)=1" a une proba égale à 1. Or cette proba devrait être nulle pour avoir convergence ps vers 0. Donc il n'y a pas cv ps vers 0.

Par contre il me semble que pour appliquer Borel Cantelli dans ce sens, il faut l'indépendance des évènements, et non juste deux à deux. Les Xn ne seraient pas indépendants par hasard ?

Effectivement, j'ai oublié de préciser que les Xn étaient indépendantes...

@iv555 : sans raisonner par l'absurde ? Je ne suis pas sûr de comprendre ta remarque

@Ihriel : j'ai réussi à répondre à la question avec les définitions de chaque ensemble ( {lim Xn=0} et limsup An ) sous forme d'intersections et de réunions. A la fin j'arrive à montrer que le complémentaire du premier contient le second, donc sa proba est 1, ce qui implique la non convergence. Merci pour ton aide !

Encore un problème de CV PS...

On a X qui suit une loi exponentielle de paramètre 1, et on pose
Yn=X*Ind([0,n[,X) + exp(n)*Ind([n,+oo[,X)

Je dois montrer que Yn converge PS vers X (Ind désigne l'indicatrice sur l'intervalle de la variable X).

Lorsqu'il s'agit de manipuler l'ensemble {lim Yn = X}, je sais vraiment pas quoi faire

Merci d'avance pour votre aide

Petit up

Salut,

essaye d'évaluer pour quels w on a lim(Yn(w))=X(w).

Le but étant bien sûr de montrer que l'on va avoir ce résultat pour presque tout w.