Bonjour,

j'ai K = {(x,y} e R² / x² + y²/4 = 1 }

Bon, on à l'équation x² + y²/4 = 1, c'est donc un fermé, correct ? Ou faut il expliquer mieux que ça ?
Par exemple, je prend l'inverse, c'est à dire x² + y²/4 appartient à ]-inf,1[U]1,+inf[. Donc c'est un ouvert, et ce qui veut dire que x² + y²/4 = 1 est un fermé.

Juste ? Un peu tiré par les cheveux ? Je sais pas trop.

Ensuite, il faut montrer que c'est borné.
Et là je sais pas trop...

Pour borné, tu peux remarquer que (x,y)€K => x<=1 et y<=4.

Pour fermé, tu peux dire que c'est l'image réciproque du fermé {1} par l'application continue f:(x,y) -> x² + y²/4.
Sinon tu peux utiliser une caractérisation séquentielle : si une suite (x_n,y_n) d'éléments de K converge vers (x,y), alors tu as par passage à la limite x²+y²/4 = 1, donc (x,y)€K.

je comprend pas image réciproque du fermé {1}.
Si j'ai x² + y²/4 = 1, le reciproque c'est "tout sauf 1" c'est ouvert alors non et pas fermé (le réciproque) ?

non j'ai rien, j'ai confondu avec complémentaire.
en passant par le complémentaire comme j'ai fait c'est bon ou pas ?

Ben t'as pas vraiment justifié que le complémentaire était ouvert... C'est plus facile de montrer directement que c'est fermé, utilise une suite si tu n'as pas vu la propriété de l'image réciproque.

Donc je recommence, on peut dire que c'est un compact car fermé + borné.
fermé ? => je prend f(x,y) continue, telle que A = {(x,y) e R² | f(x,y) = 1 = {(x,y) e R² | f(x,y) e {1} } = f^-1{1} fermé.

C'est correct ?

Borné ? => pour tout couple (x,y) dans K:
x² + y²/4 = 1 => x<=1 et y<= 4.

K est un compact

Il est borné si tout suite dans K possède une limite dans K. Mais comment vous faites avec x² + y²/4 = 1 ?

"Il est borné si tout suite dans K possède une limite dans K."

Non ]0,1[ est borné, pourtant 1/n n'a pas de limite dans ]0,1[.

Ah ok
Mais sinon, expliquez-moi siouplait

L'auteur à dit "Bon, on à l'équation x² + y²/4 = 1, c'est donc un fermé" comment vous savez ?

L'équation n'est pas un fermé, ça n'a pas de sens de dire ça.
L'ensemble des (x,y) tq x² + y²/4 = 1, c'est l'image réciproque de {1} (fermé de IR) par f, donc par continuité, c'est un fermé de IR²

Tu peux direct dire que c'est un borné puis pour fermé tu fais par image réciproque d'une appli continue !

Ok merci
(Désolé j'ai pas le même level )

Je l'ai expliqué mieux a 13:02:38.
C'est juste qu'au début, je savais plus trop comment faire, ça m'soul en général ce genre d'exo

Okok je comprend : l'image réciproque d'un fermé par une appli continue est un fermé, l'image réciproque d'un ouvert par une appli continue est un ouvert, l'image d'un compact un compact,..
C'est pas facile, mais y'a que comme ça qu'on apprend