Bonjour

Voilà, dans un exercice, j'ai déjà fait la première partie de la question et là je dois déterminer une base de ces deux espaces vectoriels :

Je sais que je dois d'abord trouver une famille génératrice et ensuite prouver qu'elle est libre. En cours, on a vu la méthode avec des cas du type : x + 2y - 3z=0 et ensuite qu'il fallait déterminer une inconnue en fonction des deux autres et que l'on obtenait une famille.

Seulement, là je ne sais pas trop comment faire, je ne vois pas comment on pourrait appliquer cette méthode dans ce cas là, est-ce que quelqu'un pourrait m’aiguiller sur la marche à suivre ?

Merci, mais tu trouves comment x+y-z=0

Alors, je pose :

(3x+2y-2z;-x+2z;2z)

(3x;-x;0)
(2y;0;0)
(-2z;2z;2z)

J'en déduis la famille génératrice :

(3;-1;0)
(2;0;0)
(-2;2;2)

Et après je démontre qu'elle est libre, c'est ça

Essaye plutôt de résoudre vraiment l'équation pour trouver des solutions.

Tu vois bien que (2,0,0) n'est pas une solution

Comment ça

Je pose :

3x + 2y - 2 z = x
-x + 2 z = y
2z = z

C'est ça

Oui voilà.

Ceci est équivalent à :
y = -x
z = 0

Par exemple (1,-1,0) est solution, et l'ensemble des solutions est la droite engendrée par ce vecteur.

Mais, la famille que j'ai trouvé est juste ?

(3;-1;0)
(2;0;0)
(-2;2;2)

Et en résolvant ce système, j'arrive à :
x=0
y=0
z=0

et j'ai prouvé qu'elle était libre en plus d'être génératrice, c'est ça

Je sais pas d'où ça vient mais c'est pas la bonne méthode.

Ben en fait, j'ai pas de méthode pour ce cas là dans le cours et on a jamais vu de droite pour les vecteurs

En fait, je comprends comment tu trouves (1;-1;0) mais je comprends pas comment tu déduis que l'ensemble des solutions est la droite engendrée par ce vecteur.

Une droite est un espace vectoriel de dimension 1, donc engendrée par 1 seul vecteur, ici v1.
Autrement dit, E1 = {(x,-x,0), x réel} = {x*v1, x réel} = Rv1 = <v1> = vect(v1)(plusieurs façons de le noter}

Parce que v1 appartient à E1 et que tout vecteur de E1 vérifie x = -y et z = 0, donc est de la forme (x,-x,0) = x*v1.

D'accord merci, donc (1;-1;0) est une base ?

Oui c'est une base de E1.

Merci, je vais essayer de la faire avec E2

Pour le deuxième j'ai le système :

3x+2y-2z=2x
-x+2z=2y
2z=2z

Mais si je remplace comme avec E1, je tombe sur des résultats comme :

x=x
y=y
z=z

Ça veut dire que n'importe quelle base est valable ?

Non ça voudrait dire que E2 = R^3 tout entier, ce qui est faux.

Normalement tu dois trouver que E2 = {(x,y,z) tq x+2y-2z = 0}.

Avec ton résultat je trouve la famille :

(-2;1;0) ; (2;0;1)

Mais je ne comprends pas comment tu l'as trouvé, moi en résolvant le système, j'arrive à :

3x+2y-2z=2x
2y-2z=-x
2y=-x-2z
y=(-x-2z)/2

Et comme : x=-(2y-2z)

y=(2y-2z-2z)/2
y=y

Et ça me fait ça pour les trois inconnues

3x+2y-2z=2x
-x+2z=2y
2z=2z

La 3ème équation elle sert à rien.
La première s'écrit x+2y-2z = 0. Et la seconde aussi.