Bonjour,
Je cherche a trouver le terme general de la suite u n dont les premiers termes sont 200, 280, 320, 340, 350... Je vois ce qui les unis : l'augmentation entre deux termes est divisee par 2 a chaque fois, mais je ne parvient pas a l'exprimer dans une relation. Il faudrait si posssible l'exprimer en fonction de 200 et de n.
SVP
Merci

Je ne trouve pas de manière simple de le démontrer... Voici une démo par les calculs.
On note :
u(0) = 200
u(1) = 280
u(2) = 320
u(3) = 340
u(4) = 350

Avec la remarque que tu as fais sur les écarts, on peut remarquer qu'on peut exprimer les choses en utilisant 80 car:
u(1)-u(0) = 80
u(2)-u(1) = 40 = 80/2 = 80/(2^1)
u(3)-u(2) = 20 = 80/4 = 80/(2^2)
u(4)-u(3) = 10 = 80/8 = 80/(2^3)

Donc on a envie d'écrire :
u(n+1)-u(n) = 80/(2^n)
Donc : u(n+1)= u(n)+80/(2^n)
Ca c'est une suite définie par récurrence.

Si tu veux la suite explicite, il faudrait écrire ceci :
u(n+1) = u(n) + 80/(2^n)
Puis remplacer u(n) par son expression en fonction du rang inférieur u(n-1) comme ceci :

Sachant que u(n) = u(n-1) + 80/(2^(n-1)) on remplace u(n) dans u(n+1) :
u(n+1) = [u(n-1)+80/(2^(n-1)] + 80/(2^n) = u(n-1)+ [80/(2^(n-1) + 80/(2^n)]
Puis rebelote : on remplace u(n-1) par u(n-2) :
u(n+1) = = u(n-2)+ [80/(2^(n-2) + 80/(2^(n-1) + 80/(2^n)]

Et ainsi de suite jusqu'à u(1)= u(0)+80/(2^0) :
u(n+1) = = u(0)+ [80/(2^0)+80/(2^1)+ ...+80/(2^(n-2)+80/(2^(n-1)+80/(2^n)]
u(n+1) = u(0)+ 80.[(1/2)^0+(1/2)^1+ ...+(1/2)^(n-1)+(1/2)^n]
u(n+1) = u(0)+ 80.S
La grosse somme entre crochet est la somme d'une suite géométrique de raison q=1/2, donc connu.
Cas général :
S = (1-q^(nombre de termes))/(1-q) pour q différent de 1
S = (1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2) = 2.(1-(1/2)^(n+1))

Donc en remplaçant S dans u(n+1) :
u(n+1) = u(0)+ 80.S = u(0)+ 80.2.(1-(1/2)^(n+1))
Et donc en décédant d'un rang pour exprimer u(n) en fonction de n :
u(n+1) = u(0)+ 80.2.(1-(1/2)^n)
Vrai pour n >= 1

juste par hasard, je n'ai aucune vision du problème, as-tu essayé de faire une conjecture et de la démontrer par un raisonnement par récurrence?

Effectivement

Juste au passage, je m'aperçois que j'ai mal écris le dernier résultat : c'st u(n) et pas u(n+1) dans la dernière équation.
On trouve :
pour n>=1, u(n) = u(0)+ 80.2.(1-(1/2)^n)

Ah oui je comprends mieux maintenant, je ne voyais pas de sens dans ton raisonnement sinon, mais une telle démarche non guidée n'est pas usuelle de la classe de terminale, et encore moins de première

En qu'elle classe est l'auteur?

Je m'aperçois encore d'une ambiguité...
Il ne faut pas lire 80.2 comme 80,2 mais...
comme 80 fois 2 : 80.2 = 160
C'est juste qua ça se smplifie avec le 1/2 dans la parenthèse quand on remplace n par une valeur...

Bon bref
Donc, pour être clair ça donne :
pour n>=1, u(n) = u(0)+ 160(1-(1/2)^n)

Premiere S mais c'est un exo balèse.