Bonjour

dans mon cours il est écrit en remarque la chose suivante :

"La donnée d'un corps fournit deux structure : Une structure de groupe additif abélien et une structure de groupe multiplicatif. On peut montrer cependant que la seule donnée de ces deux structures ne permet pas de définir un corps"

Je ne comprends pas du tout le sens de cette remarque. Quelqu'un voit-il ce que le prof a voulu sous-entendre?

J'ai oublié un mot :

"ne permet pas de définir un UNIQUE corps"

du coup en fait je crois comprendre la phrase, en gros deux corps différents peuvent avoir le même groupe additif et groupe multiplicatif? Si oui j'ai encore plus de mal à comprendre comment c'est possible.

Si (K,+)=(K',+') alors K=K' et +=+' non?

Tu es sûr? Pourquoi un "ou"?

" la seule donnée de ces deux structures"

On a bien les deux en même temps non?

De toute manière je ne vois pas comment deux corps différents pourraient avoir le même groupe additif, je comprends pas...

Encore faut-il qu'il y ait distributivité.

C'est très vague comme affirmation. Si tu te donnes (Q,+) et (R,.) comme structures ça peut définir (Q,+,.) et (R,+,.) comme corps...
Et le déf peut merder si les ensembles n'ont rien en commun ou s'il n'y a pas distributivité de la multiplication.
Enfin bref je vois pas trop ce qu'il a voulu dire par là

(R*,.) d'ailleurs.

Salut,

je pense que ton prof parlait de "même" et "unique" en terme d'isomorphisme.

Autrement dit on pourrait reformuler en :

"Deux corps peuvent voir des groupes additifs et multiplicatifs isomorphes sans être eux même isomorphes".

Ca semble vrai mais je ne vois pas de contre-exemple pour le moment.

Après réflexion, je pense que R(x,y) et R(x) devraient convenir.

Klaus je comprend pas ton exemple.

si j'ai bien compris :

R(x,y) et R(x) ont des groupes additifs isomorphes, des groupes multiplicatifs isomorphes mais ne sont pas eux même isomorphes.

Si c'est ça, alors je n'arrive à justifier aucune des trois propositions...

Salut Amandin,

tout d'abord pour être bien clair, j'entendais par R(x,y) et R(x) les corps de fractions rationnelles à respectivement 2 et 1 variable à coefs dans R.

Pour leur groupes additifs isomorphes, on avait montré que (C,+) et (R,+) sont isomorphes en les regardant comme Q-ev. C'est le même principe ici.

Pour les groupes multiplicatifs isomorphes, c'est un poil plus compliqué, on peut les voir comme un produit direct de R* et d'un groupe libre généré par les polynômes irréductibles.

Pour le fait que R(x,y) et R(x) ne soient pas isomorphes, peut-être qu'on pourrait raisonner par l'absurde mais le plus simple est d'y aller directement en disant qu'en tant qu'extensions transcendantes de R elles n'ont pas le même degré de transcendance (2 pour R(x,y) et 1 pour (R(x))).

Je doute que ton prof avait cet exemple en tête, un peu trop compliqué. Peut être peut-on faire plus simple mais je ne trouve pas. On peut montrer déjà que c'est impossible de trouver des exemples si les corps sont finis où si ce sont des extensions algébriques d'un même corps. Ca réduit pas mal le champs des possibilités.

Oula Klaus, à partir des groupes multiplicatifs isomorphes je capte plus rien.

Il est aussi très posible que mon prof a fait cette remarque en l'admettant, je me rappelle plus de ce qu'il a dit au moment où je l'ai écrite. ce qui est sur c'est que c'est bien son genre de faire des remarques hors-niveau sans les justifier/démontrer.

Ca doit surement être ça alors.

En tout cas la remarque n'est pas inintéressante, on a souvent envie en maths quand on travaille sur une structure de la décomposer en structures plus simples (décomposer un groupe en produits directs de groupes plus simples, décomposer un ev en sommes directes de sev plus simples, décomposer un ensemble par une partition de classes d'équivalences etc.).
Si l'on pouvait restreindre le travail dans un corps à un travail sur deux groupes, cela rendrait les choses beaucoup plus simple mais la remarque nous fait comprendre que non, les choses sont plus compliqués.