Bonjour à tous.

Je suis tombé sur la résolution de cette équation (int = intégrale) :
int(dx/[(x²+1)^(1/2)])

Je me demandais si l'astuce suivante pour résoudre relevait d'une méthode plus générale ou si c'était juste un truc à connaitre ?

On pose u = x+(x²+1^(1/2)
D'où :
du = dx+(2xdx)/[2(x²+1^(1/2)] = ([(x²+1^(1/2)+x]dx)/(x²+1^(1/2)
du = u.dx/(x²+1^(1/2)
Donc :
du/u = dx/(x²+1^(1/2)

Du coup, on a plus qu'a intégrer sur u :
int(dx/[(x²+1)^(1/2)]) = int du/u

Etes-vous déjà tombé sur cette astuce ? D'où cela vient-il ? Ecistet-il un cas plus général qui aurait laisser deviner ce truc ?

Merci

T'as fait un changement de variable quoi, je comprends pas bien ce que tu demandes.

Au passage une primitive de cette fonction c'est argsh.

Je comprends ton interogation.
En fait je me remétais un peu à la méca, et je tombe sur ce caclcul intégral. J'étais bloqué ayant oublié ta fonction (que tu fais bien de me rapeller).

Et en regardant la correction, je vois ce changement de variable avec u.
Je me demande tout simplement si j'aurais pu y penser (ça me rapelle d'ailleurs des méthodes dans des bouquins comme Methodix etc. De mémoire ya plein d'astuce de ce genre) ou si ce changement de variable dissimule quelque chose de plus général ?
J'ai l'impression qu'on peut généraliser ce changement de variable ou lui donner du "sens", mais je c'est très flou.

Mais à ta réponse, si t'es étonné, je crois que c'est juste un truc qui marche en fait. C'est juste un truc de caclcul. Point

Je répondais à Prauron dans le message précédent ::)

@Blue-Koala
Voilà, c'est le sens de ma question

Vous avez répondu tous les 2 en fait.
J'ai complètement zappé argsh enfait

Merci

Ah oui en effet le changement de variable est pas spécialement évident à voir. Comme dit Blue, ça vient du fait qu'une primitive de cette fonction est x-> ln(x+sqrt(x²+1)), aussi appelée argsh.
Je trouve un peu étonnant que la correction ait recours à un changement de variable qui paraît un peu sorti du chapeau, alors que c'est une primitive usuelle.

C'est vrai. C'est asse désemparant qu'on lit juste ça.
FAut dire que j'ai trouvé cet exo dans un bouquin de méca pour des prépa 1ère année.
Ca y va progressivement mais ca fait partie des 1ers chapitres. Les auteurs supposent peut-être que les èlèves n'ont pas encor vu ce genre de primitive ?

Mais du coup, ça sort du chapeau...

En tout cas, Je la note !
Je crois que vais regarder s'ils n'existent pas d'autres fonctions de ce genre avant de continuer Pas envie de passer du temps à me demander d'où ça vient alors que c'est connu...

Merci à vous deux

Normalement on voit ça en tout début d'année.

Sinon tu peux jeter un œil aux dérivées de arctan, arccos, arcsin, argch, argth... Enfin globalement tout ce qui est fonctions trigonométriques réciproques.

Fonction circulaire. Ok
Je crois qu'il doit me rester un bouquin sur les fonctions usuelles de Monier... quelque part..