Bonjour,

J'ai mon polycopié de cours sur les Treillis sous les yeux avec bien entendu en 1er une définition. J'ai l'impression de l'avoir comprise, mais visiblement non. Voici la définition telle qu'elle est écrite :

Si je prends X = {1, 2, 3, 4} et A = {3, 4}, A est bien inclus ou égal à X et la borne inférieure de A vaut 3 qui est un élément de X. Je teste les propriétés.

Propriété 1, aucun problème.
Propriété 2, si je choisis x = 4, pourquoi est-ce que j'obtiens une implication fausse (4 <= 3) lorsque je passe à a = 4 ?

Je me doute bien que c'est moi qui ai faux ou qui ai un problème de compréhension, mais est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ce qui ne va pas ?

Salut,

je ne comprends pas bien ton histoire de 4 < 3.

Dans ton exemple, la borne sup et inf sont le max et le min et il est évident qu'une paire de deux éléments a toujours un max et un min.

En l'occurrence le max de A est 4 et son min est 3.

J'ai du mal à comprendre la définition en fait. Du coup, je me suis pris un exemple d'ensemble X et idem pour A.

Je comprends la propriété comme telle : "pour tout x appartenant à X, quelque soit a appartenant à A et x <= a, on a x <= inf(A).

Si je prends en exemple donc {1, 2, 3, 4} pour X et {3, 4} pour A et choisis x = 4 et a = 4, l'implication donne 4 <= 3, ou je me trompe ?

Non tu as une mauvaise interprétation de la définition.

Un trellis est un ensemble ordonné dont toute paire admet une borne sup et une borne inf, c'est la façon la plus simple d'écrire la définition.

Evidemment, il faut comprendre ce qu'est une borne sup. ou inf. vis à vis de la relation d'ordre, la définition est alors celle qui t'est donnée en première partie de ton texte.

Une définition des plus simples de la borne supérieure (inférieure) est le plus petit des majorants (le plus grand des minorants.

Je veux bien, mais même avec ça, ça m'aide pas

si quelqu'un pouvait m'expliquer, c'est important !

La propriété 2 de la définition se lit :
pour tous les x de X, si il x minore A, alors il est plus petit que l'inf de A.

X = {1, 2, 3, 4} et A = {3, 4}

Dans ton exemple, 3 est un minorant de A (propriété 1).
Pour vérifier la deuxième, on considère les éléments de X qui minorent A, à savoir 1 et 2. Ensuite on vérifie si cela implique qu'ils sont plus petits que 3, et c'est le cas.
Ainsi 3 vérifie les deux propriétés d'une borne inf, donc c'est une borne inf de A.

Je le redis d'une manière plus française :

-quelque soient les x de X minorant A, x est plus petit que ^A.
ou
-si x est un minorant de A dans X, alors x est plus petit que ^A

Propriété 1 : ^A est un minorant de A
Propriété 2 : tous les minorants de A sont plus petits que ^A

Ceci se traduit effectivement par : ^A est le plus grand des minorants.

Ah d'accord, je viens de comprendre, merci

Du coup j'ai juste une autre question (un peu bête certainement). Plus loin j'ai une autre définition :

"D'après cette définition, si (X, <=, ^, v) est un treillis, on a, pour tout x, y, z appartenant à X :
- x^y <= x,y <= xvy.
- x,y <= z => xvy <= z.
- z <= x,y => z <= x^y."

Lorsqu'il est écrit "x,y", c'est à comprendre dans le sens "x ou y" mais le ou littéral (quelque soit x ou y), c'est bien cela ?

Salut,

la virgule semble être un "et" plutôt qu'un "ou".

J'ai testé, en considérant "x, y" comme "et", avec une table de vérité, et en choisissant x = 0, y = 1, z = O, j'obtiens un problème pour la 2ème propriété, c'est normal ?

x = 0, y = 1, z = O

J'imagine que le z est un zéro ?
Dans ce cas, ces valeurs ne vérifient pas x<=z et y<=z, donc on ne peut rien en déduire.

Ces trois propriétés sont des conséquences directes des définitions :

1) x et y sont plus grand que leur inf, et plus petit que leur sup
2) si z majore {x,y}, alors z est plus grand que le sup de {x,y}
3) si z minore {x,y}, alors z est plus petit que l'inf de {x,y}

Du coup ça veut dire que (X, <=, ^, v) n'est pas un treillis si j'ai trouvé un exemple qui ne vérifie pas une des propriétés ?

En fait oubliez, je viens de comprendre, désolé...

Merci de vos réponses