Un problème que je me suis posé récemment :

On considère un rectangle A contenu (non nécessairement inscrit) dans un autre rectangle B . Montrer que le périmètre de A est plus petit que celui de B.

Plus difficile : On considère un polygone convexe A contenu (non nécessairement inscrit) dans un autre polygone convexe B, les deux n'ayant pas forcément le même nombre de côté, le périmètre de A est-il nécessairement plus petit que le périmètre de B?

T'as une indication sur le premier ? Je pensais partir du fait qu' l'aire de l'un est trivialement plus grande que celle de l'autre mais ça n'aide pas tant que ça...

Pour le deux je dirais intuitivement que oui puis que si tu veux "grandir" le périmètre de celui de dedans tu finiras par perdre la convexité du polygone...

Pour le premier, on peut utiliser effectivement le fait que l'aire de celui imbriqué est plus petite. La question est alors de savoir comment relier l'aire au périmètre du rectangle. Ce n'est pas trop compliqué.

Pour le second, je te laisse réfléchir. J'ai fini par trouver une preuve extrêmement rapide mais elle ne me convient que trop peu.

Personne n'a d'idée?

Une petite indication pour le premier : Penser à (a+b)²

bref j'abandonne...

Pour le 1er c'est bon.

Pour le 2ème on pourrait pas utiliser une décomposition des polygones convexes en triangles ?

inversible > tu n'es pas dans la bonne direction!

Prauron > Pour le 2ème je t'avouerai que j'ai longtemps cherché une solution à base d'inégalité triangulaire en rajoutant suffisamment de segments, mais pas moyen d'arriver au bout.

A vrai dire je n'ai aucune solution purement géométrique à la seconde question.

bah je pensais partir sur des integrales pour essayer de trouver un lien primitive/dérivé/fonction pour déduire le périmètre mais ça n'aboutie pas

Non c'est plus simple que ça, utilise l'indication, qui permet de relier les aires aux périmètres.

L'aire est égale au carré de la moitié du périmètre, non ?

Si c'est ça je pense l'avoir

Ta preuve extrêmement rapide utilise un gros théorème ?

"L'aire est égale au carré de la moitié du périmètre, non ?"

Euh on n'a pas (a+b)² = ab.

Oula attendez j'ai mélangé deux lignes, je reprends mon truc

Non pas de gros théorème connu utilisé, juste une formule pas trop difficile à montrer, mais encore fallait-il penser à cette formule...

L'idée est d'essayer de relier le périmètre au nombre d'intersection du convexe avec les droites du plan. Cela donne lieu à une formule qui permet immédiatement de répondre au problème.

Je comprends pas bien, avec quelles droites en particulier ?

Toutes!

La dite formule stipule que le périmètre d'une courbe est égal au "nombre moyen" ( = intégrale) d'intersections entre cette courbe et l'ensemble des droites du plan.

Il s'agit apparememnt d'une formule attribuée en partie à Cauchy, voir ici par exemple : http://www.latp.univ-mrs.fr/~ayaman/Enseignements/2011-2012/CS/DM/Crofton.pdf

Le PDF n'expose pas de preuve de cette formule, mais cela se démontre assez facilement pour un segment de droite, puis pour un polygone (puis pour une courbe C1 par approximation polygonale)

Je connaissais pas cette formule, elle me paraît pas très intuitive. Enfin si pour un segment.

J'ai exprimé le périmètre en fonction de l'aire, mais j'ai toujours les longueurs des côtés dedans. C'est logique je pense, mais comment conclure si on sait pas comment varient les longueurs des côtés ?

Prauron > Je ne la connaissais pas non plus avant de la découvrir (c'est normal tu me diras...). C'est vrai qu'elle n'est pas intuitive mais je suis certain qu'on peut lui attribuer une justification probabiliste. Mais comme les probas ne sont pas mon domaine de prédilection, je ne m'avancerai pas.

super-castor > As-tu essayé avec l'indication que j'ai donnée, à savoir calculer (a+b)² où a et b sont les côtés d'un rectangle? Si c'est à ce développement que tu fais référence dans ton dernier post, alors oui il reste des longueurs des côtés, mais un coup de Pythagore et un argument sur la longueur de la diagonale devrait te permettre de conclure.

Ah mais si, a et b diminuent forcément et l'aire aussi ! Donc le périmètre aussi !