salut tout le monde

je bloque sur le dernier exercice de mon DM :

1)Montrer que pour toute suite numérique (un) : (un) converge vers 0 si et seulement si u(n+p)-u(n) converge en n vers 0 uniformément en p

2)Donner dans chacun des cas suivants un exemple de suite u(n) divergente vérifiant la condition énoncée :

a) Pour tout p, u(n+p)-u(n) converge en n vers 0
b) Pour tout p, u(pn)-u(n) converge en n vers 0
c) Pour tout p, u(n^p)-u(n) converge en n vers 0

3) Soit s : N² -> N une fonction telle que pour tout n, s(n,p) > n

Montrer qu'il existe une suite (un) divergente telle que pour tout p, u(s(n,p))-u(n) converge en n vers 0

Mes réponses :

1) Ok par le critère de Cauchy

2)a) je prends u(n)=ln(n)

b) et c) aucune idée

3) encore moins d'idées...

Un peu d'aide serait la bienvenue (j'ai le temps c'est à rendre pour dans deux semaines).

Merci!

Pour la 2b), tu peux prendre u(n) = ln(ln(n)).
Et ça devrait te donner une bonne piste pour la 2c)

Merci morphisme, pour c) du coup j'ai u(n)=ln(ln(ln(n)))

Si je comprends bien le principe, pour la 3) on pourrait regarder à quelle vitesse croît s(n,p) et on compense avec suffisamment de ln. J'ai du mal à raisonner avec une fonction s quelconque.

(Pour la 3) d'ailleurs, c'est s(n,p) > n pour tout n ET p)

Oui ça n'a pas l'air très facile, il faut probablement se creuser la tête
Perso il me paraît même surprenant : imaginons que s(n,p)=exp^p(n) (où la puissance représente la composition). Il y aurait donc moyen d'avoir une suite u_n divergente vérifiant u_(s(n,p))-u_n convergente en n pour tout p, ce qui semble assez surprenant avec juste une suite du type ln^k(n). Peut-être l'étude de cet exemple peut-il ouvrir des pistes...

Je pense avoir une idée.

On décompose N en intervalle I(0)=[x(0),x(1)] I(1)=[x(1),x(2)], ...., I(n)=[x(n),x(n+1)] etc.

où les x(i) sont croissants, choisis de telle sorte que x(i) > i et pour tout p, il existe un rang à partir du quel si m < x(n) alors s(m,p) < x(n+1).

On définie alors u(n)=log(k) où k est tel que n appartienne à I(k).

Avec cette construction, à p fixé il existe toujours un rang tel que si u(n) est dans un certain I(k) alors u(s(n,p)) est dans un I(k') avec k' < k+1. Autrement dit si u(n) vaut un certain log(m) alors u(s(n,p)) vaut au pire log(m+2).

Donc quel que soit p, la différence u(s(n,p))-u(n) tend vers 0 alors que u(n) diverge par construction.

J'ai mis un peu de temps à comprendre mais avec un dessin c'est clair.

En gros les g(n) croissent plus vite que s(n,p) si bien que n et s(n,p) peuvent pas être trop éloignés. En prenant leurs images en log c'est que leur différence entre vers 0.

Merci pour cet exemple que je n'aurais jamais trouvé seul...

C'est bien l'idée. Pour bien comprendre tu peux regarder à quoi pourrait correspondre la suite x(n) lorsque s(n,p)=n+p ou s(n,p)=p^n.