Je voulais attendre lundi pour poser ma question à mon prof de topo mais vu qu'il y a des "tronches" sur le forum...

On a vu en cours la notion d'espace séparable : Un espace est séparable s'il contient une partie dense au plus dénombrable.

Ma question est : Si un espace topologique est séparable, tous ses sous-espaces topologiques le sont-ils aussi?

Je pense que oui mais je ne sais pas le prouver

Si Morphisme, Prauron ou Klaus sont dans les parages...

La réponse est oui.

Pour t'aider à trouver un exemple, je pose la sur-question suivante :

Existe-t-il un espace topologique séparable et NON COMPACT possédant un sous-espace topologique non séparable?

La réponse est encore oui, mais un poil plus compliquée.

Désolé Klaus mais je comprends pas en quoi ta sur-question indique une réponse à la question...

Pourquoi rajouter l'hypothèse non compact? C'est trivial sans cette hypothèse c'est ça? Si oui je vois pas la trivialité (mais ce ne serait pas la première fois..)

L'idée de base pour ta première question est qu'un espace compact est toujours séparable.

Donc tu prends un espace non séparable et tu en prends un compactifié, ça te donne un espace compact donc séparable qui contient un sous-espace non séparable.

D'où ma sur-question : Et si l'on veut un espace non compact?

Au passage, je précise que si l'on rajoute "métrique" à nos hypothèses, alors on ne peut plus trouver d'exemple : Tout sous-espace d'un métrique séparable est encore séparable, ce n'est pas trop difficile à prouver avec une distance sous la main.

Qu'est-ce que tu entends par "tu en prends un compactifié"?

Je vais essayer de prouver que c'est vrai pour un espace métrique mais c'est mal parti (jsuis nul en topo mais apparemment c'est normal, c'est l'inverse qui serait bizarre m'a-t-on dit)

Ah, tu n'as peut être pas vu la notion de compactification qui consiste à créer un espace compact à partir d'un espace non compact.

Les deux méthodes de compactification les plus connues sont :

Procédé de compactification d'Alexandrov (nécessite que l'espace soit localement compact) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Compactifi%C3%A9_d'Alexandroff (

Procédé de compactification de Stone-Czech (pour tout le monde) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Compactifi%C3%A9_de_Stone-%C4%8Cech

Concernant ta diabolisation de la topologie, faut se dire que faire de la topologie c'est juste manipuler du caoutchouc ;)

Merci pour les liens j'y jette un coup d'oeil.

Sinon, autant j'étais bon en pate à modeler étant petit, autant le caoutchouc me résiste étant plus grand...

Tu peux me donner une piste de départ pour montrer que c'est vrai dans le cas métrique?

Oui, mais après manger sinon j'en connais une qui va râler!

A tout à l'heure.

Ok merci et bon ap' (pas sûr que je sois là à ton retour mais je lirai demain ce que tu as écrit au pire ou en rentrant ce soir)

Up

j'ai un peu du mal à conclure ce fil :

1) Comment trouver un contre exemple n rajoutant l'hypothèse non compact?

2) Comment montrer que le résultat est vrai avec l'hypothèse métrique?

En fait je pense ne pas bien arriver à me représenter cette notion de séparabilité, ça signifie quoi concrètement le fait de contenir une partie dénombrable dense?

Pour le 1) je pense que R² muni d'une certaine topo produit bien choisie devrait convenir. J'en ai une en tête il faut que je vérifie si elle marche.

Pour le 2) et en relation avec ton incompréhension de la notion de séparabilité, on peut traduire la définition d'espace métrique séparable en : Il existe une suite dont l'adhérence est égale à l'espace tout entier. Donc il s'agit de prendre une partie X quelconque de ton espace métrique séparable et montrer qu'on peut construire une suite dense dans cet espace.

Ok, ça a l'air de bien marcher avec le plan muni de la topologie produit TxT où T est engendrée par les intervalles semi-ouverts (plus fine que la topologie usuelle).

Il est séparable comme produit de séparable mais le sous-espace D des (x,-x) pour x décrivant R n'est pas séparable. De plus ce dernier ensemble est un fermé discret, si R² était compact pour la topologie TxT alors D aussi ce qui n'est pas le cas.

Merci Klaus :

1) Je ne comprends pas pourquoi la deuxième bissectrice n'est pas compacte? Comment le montrer?

2) Dac', avec cette définition séquentielle c'est clair.

Fais un dessin, si tu as compris à quoi correspondent les ouverts pour la topologie produit, alors tu devrais facilement trouver un recouvrement de la droite en question qui n'admette aucun sous-recouvrement fini (ni même dénombrable...)

Effectivement, j'ai pas l'habitude de manipuler cette définition de la compacité mais ici ça se fait bien

encore merci