Bonsoir,

Quelle est la limite du rapport v(a+h) - v(a) / h quand h tend vers 0 ?

Je sais que c'est v' mais il me faudrait une petite explication.

Merci.

C'est v'(a) par définition...

Il n'y a rien d'autre a dire ?

Ca me parait trop simple a mettre dans un devoir quoi

Merci de ta réponse.

Que veux tu dire d'autre ? Tu peux sortir toutes les propriétés de la dérivée si tu veux.

En fait si tu veux vraiment le comprendre, il faut passer par une interprétation géométrique.

Rappel :
pour une droite d'équation y = mx+p, m s'appelle le coefficient directeur.
Si m > 0, la droite monte de gauche à droite ; elle est croissante.
Si m < 0, la droite descend de gauche à droite; elle est décroissante.
m indique à quel point la droite est inclinée par rapport à l'horizontale (ou l'axe Ox des abscisses).

Or le rapport (v(a+h) - v(a)) / h = m, c'est à dire est un coefficent directeur mais pour un ensemble de droites un peu particulier : les sécantes. Voir le schéma ici : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Methode_de_la_secante.png

Qu'est ce qu'une sécante ?
Eh bien tu prend 2 points quelconque de la fonction et tu relie par une droite. Simple non ?

Maintenant tu fixe un des points, et tu fais en sorte que l'autre se rapproche en restant sur la fonction. C'est là que ça se traduit par la notion de limite. Cf ici : http://quelbazar.pagesperso-orange.fr/maths/Fac/LES%20DERIVEES%20ET%20LEURS%20APPLICATIONS_fichiers/image007.jpg

Les points se rapprochent (on a une sécante) jusqu'à ce que... les deux points se confondent, ce qui se traduit par lim de h->0. On a alors une droite que l'on appelle tangente à la fonction et qui ne coupe la fonction n'ont plus en 2 points mais en un seul.
Une animation ici : http://math.cmaisonneuve.qc.ca/plantagne/Maple/Animation_de_la_derivee/La%20d%C3%A9riv%C3%A9e%20anim%C3%A9e4.html

La calcul que tu évoques lim (v(a+h) - v(a)) / h)= lim m(h) quand h->0 revient donc à étudier analytiquement(= par le calcul) comment se comporte le coefficient directeur m quand la sécante tend vers la tangente... si elle existe.

Dans ce cas, où la lim existe, c'set à dire la tangent existe (car ce n'est pas toujours vrai), ce m particulier de la tangente, eh bien on a décidé de l'appeler nombre dérivé au point M(a;v(a)) par exemple. On le note v'(a).
cf le II) interprétation géométrique ici : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/derive.pdf

Est ce plus clair ?

Après si tu veux une explication de pourquoi ce rapport est un coefficent directeur, c'est simple mais pas expliqué ci dessus. Il suffit d'ailleur de faire un dessin