Bonsoir,

je n'arrive pas à mettre la main sur un théorème (peut-être qu'il n'existe pas tout simplement) qui me permettrait d'affirmer que si X, Y et Z sont 3 variables aléatoires avec X ind Y et X ind Z alors X et YZ sont indépendantes.

De manière générale, si X1, ..., Xn, Y1, ..., Ym sont n+m variables aléatoires réelles telles que pour tout i et j, Xi et Yj sont indépendantes, f et g deux fonctions à valeurs réelles, est-ce que f(X1, ..., Xn) et G(Y1, ..., Ym) sont indépendantes et si oui, quelles conditions sont nécessaires pour f et g ?

Merci d'avance !

Salut,

On lance deux pièces non truquées et considère les évènements :

A=la première tombe sur pile
B=la deuxième tombe sur pile
C=les deux tombent sur la même face.

C est indépendante de A et de B mais n'est pas indépendance de (A et B)

En effet la proba que les deux tombent sur la même façon sachant qu'elles sont tombées sur pile est de 1.

désolé pour les typo.

Solution en terme de v.a :

Y et Z pris aléatoirement dans {0;1} et X=1 si Y=Z, 0 sinon.

Salut,

j'ai considéré ton exemple avec des proba quelconques (1/4, 3/4 et 1/3, 2/3). On peut en effet imposer que Y et Z sont indépendantes, mais dans le calcul X n'est indépendante avec aucune des deux autres, donc, sauf erreur de ma part, on n'est pas dans les hypothèses de mon problème

X est bien indépendante de Y et de Z :

La proba que X vaille 1 (ou 0) vaut toujours 1/2 peu importe que l'on connaissance la valeur de Y et de Z.

P(X=1 | Y=b)=1/2=P(X=1) et P(X=0 | Y=b)=1/2=P(X=0)

Même chose pour Z à la place de Y. On a bien indépendance.

Ah okay, j'avais pris des proba quelconques... oui en effet, avec que des 1/2, ça fournit un contre-exemple.

Merci beaucoup !

Je t'en prie.

Ton théorème est vrai lorsque X, Y et Z sont indépendantes dans leur ensemble par contre.