bonjour aux matheux,

comment montrer que pour tout entier p premier et toute matrice M à coefficients entiers :

tr(M^p) = tr(M) mod p

?

Tu peux trigonaliser M en la considérant comme une matrice à coefficients dans la clôture algébrique de Z/pZ.

Je n'ai pas vu la notion de clôture algébrique. Tu as une solution niveau spé?

As-tu au moins vu qu'étant donné un polynôme P à coefficients dans un corps K, il existe un corps L tel que K est un sous-corps de L et que P est scindé dans L ?
J'ai pas d'autre solution, mais il y en a peut-être avec des outils plus élémentaires

Non désolé ca ne fait pas parti du programme.

La question est posée dans un DM de niveau spé.

Mais elle est posée directement comme ça ou tu as des résultats intermédiaires ?

Sans résultats intermédiaires, c'est un DM avec plein de questions de type oral.

Deux solutions calculatoires :

1) Regarder la trace comme le coef de X^(n-1) dans le polynôme caractéristique.

2) Ecrire directement la trace de A^p à l'aide des coefficients de A.

Sinon, la propriété est vraie pour les matrices diagonalisables et vraie pour les matrices nilpotentes. On peut conclure par décomposition de Dunford.

Mais Dunford nécessite que le polynôme caractéristique soit scindé non ?

Oui tu as raison, il faut alors se mettre dans un corps de décomposition et on sort du cadre du programme.

En fait non, il suffit de décomposer M en deux matrice dont le polynôme caractéristique et scindé, par exemple une matrice triangulaire supérieure et une matrice triangulaire inférieure.

J'ai du mal à aller au bout des solutions calculatoires..

C'est un peu chiant mais ça se fait bien. Jusqu'où as-tu réussi à mener les calculs?

Pour la première piste proposée je n'arrive pas à faire le lien entre le coefficient de X^(n-1) dans le polynôme caractéristique de A^p et celui de A.

Up!

le polynôme caractéristique de A^p vaut P(X)=det(A^p-X.In)

Tu as alors P(X^p)=det(A^p-X^p.In) que tu devrais pour exprimer en fonction de det(A-X.In)