J'ai un problème avec l'exercice suivant concernant les groupes et la notion d'ordre :

1) Existe-t-il un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini

2) Existe-t-il un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini et tel que tout entier naturel soit l'ordre d'au moins un élément?

Je pense avoir une réponse pour la 1) en prenant P(N) (parties de N) muni de l'opération différence symétrique. Mais par contre je n'ai aucun exemple pour le 2) qui me paraît être impossible, sans arriver à en trouver de preuve.

Des idées?

pour le 1, plus naturellement tu peux prendre le produit cartésien infini de U2 (racines 2ème de l'unité)

(exp(ik1.pi),exp(ik2.pi),....

où k1,k2,.... € [[0,1]]

Ton groupe c'est {-1;1}^N c'est ça? Ok ça marche aussi!

Hello,

pour un contre-exemple, regarde le tore R/Z.

Klaus c'est quoi le tore R/Z? C'est le groupe quotient de R par Z? Si oui, par quelle relation?

x~y <=> x-y entier.

Q/Z suffit en fait.

Si p est un entier, examiner l'ordre de la classe de 1/p.

D'accord j'ai bien compris, 1/p est d'ordre p donc il existe des éléments d'ordre aussi grand que l'on veut.

Quelle hypothèse devrait-on rajouter pour s'assurer que le groupe est nécessairement fini?

Les questions de finitude des groupes de torsion (= groupes dont tous les éléments sont d'ordre fini) sont au coeur de l'actualité mathématique, en particulier ta question est celle que des chercheurs se posent.

Burnside s'est demandé il y a une centaine d'année si un groupe de Torsion de type fini était nécessairement fini, la réponse est non assez contre-intuitivement.

Bref, on peut toujours trouver une CNS mais qui sera toujours trop grossière pour avoir une quelconque utilité.

Merci pour tes réponses