Salut,
Je fais un exercice sur les polynômes caractéristiques. Après l'avoir calculé, décrit les sous-espaces propres on me demande de "donner une base dans laquelle l'endomorphisme f soit représenté par une matrice triangulaire supérieure" et j'avoue ne pas comprendre ce que je dois faire.
Quelqu'un aurait une idée ? Merci

Trigonaliser l'endomorphisme. T'es en quelle dimension ?

Dimension 3*3
Trigonaliser la matrice que j'ai au début ? Comment je suis censé faire ?

Ça dépend. C'est quoi les valeurs propres et dimensions des sous-espaces associés ? En fait donne la matrice ça ira plus vite.

7 3 -4
-6 -2 5
4 2 1

Merci de m'aider

Tu es dans C ?

Si oui, tu as du trouver 3 valeurs propres distinctes:
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{7%2C3%2C-4}%2C{-6%2C-2%2C5}%2C{4%2C2%2C1}}
Dons 3 sous espaces propres de dimension 1

Dans une base composée d'un vecteur non nul de chaque sous-espace propre (famille libre par théoreme), la matrice de l'endo est diagonale.

Non je suis pas dans C En gros j'ai compris que je devais trigonaliser la matrice. Mais j'avoue ne pas savoir faire Mon polynôme caractéristique est scindé donc je peux la trigonaliser. Mais je sais pas comment m'y prendre

alors je fais pas le calcul, mais de manière generale tu calcules les sous espaces propres etc...

la en dim 3, je pense que tu devrais trouver 2 vecteur indépendants venant de tous tes sous espaces propres, suffit d'en choisir un troisieme indépendant, et résoudre un système pour savoir comment tu vas le choisir en faisant tes formules de changement de base etc... pour que cela colle bien avec une matrice triangulaire superieure
(remarque si tu en as 2 il y a rien a faire n'importe lequel conviendra, si tu n'en as qu'un, la un calcul sera necessaire en effet, car sinon la deuxieme colonne risque de "merder"

en gros c'est une methode chiante et calculatoire,...
il y a d'autres méthodes plus intuitives, mais celle la est beaucoup plus generaliste et simple d'acces a la compréhension de tous

Tu es sur de ta matrice ?

Il n'a pas l'air scindé dans R le polynôme caractéristique

remarque quand je te dis suffit de completer de telle sorte que ca fasse une matrice triangulaire superieure, bien evidemment, les vecteurs cherchés ne seront pas dans les sous espaces propres sinon ca veut dire que c'est diagonalisable...

et tu ecris ce que ca veut dire tu auras des inconnus que tu devras choisir pour que cela soit triangulaire superieur ...
bien evidemment, il n'y pas d'unicité ...

Je me suis peut être trompé d'exo désolé Mais si c'est chiant et calculatoire c'est peut être pour ça que l'on n'a jamais fait. Je vais pas plus loin donc. Merci à vous tous

Non c'est pas forcément chiant et calculatoire. Le seul cas délicat c'est quand t'as qu'une vp et que le sous-espace associé est de dimension 1.

Et dans les cas simples ?

Ben justement, ça dépend du nombre de vp et des dimensions associées, c'est pour ça que je te demandais la matrice.

Salut,

la base de la trigonalisation, ce sont les sous-espaces caractéristiques.

Si tu arrives à décrire simplement ces espaces, tu auras directement ta matrice trigonale.

Salut, dans un exercice je me rappelle en avoir trouvé 2, puis dans la correction le prof en avait mis une troisième colonne (0,0,alpha) avec alpha valeur propre. Puis il a fait une série d'opération que je n'ai pas compris

Pas mon niveau encore tout ça

Quelle est donc cette "série d'opération" que tu mentionnes?

L'idée pour trigonaliser est toujours la même : On cherche les sous-espaces caractéristiques, on en trouve une base et l'on considère une base de notre espace adaptée à une décomposition de ce dernier en une somme directe des sous-espaces caractéristiques.

Et si tu as déjà 2 valeurs propres sur une matrice 3*3, il suffit de prendre la trace pour avoir la 3eme