Un exo sur lequel je bloque depuis ce matin, en fait je ne vois pas du tout comment partir si quelqu'un avait une piste à proposer :

Trouver toutes les fonctions f telles que :
pour toute série S(u(n)) convergente alors S(f(u(n)) est aussi convergente

En gros trouver les fonctions qui préservent la convergence des séries.

Qui voit comment faire ça? Je sais que les fonctions linéaires marchent, quoi d'autre?

Je considère que tu te places dans R.
La série de S(u(n)) converge => u(n) tend vers 0.
Une condition nécessaire pour f est donc qu'elle soit continue en 0 et que f(0)=0.
Ca ne suffit pas, vu que la fonction sqrt(|x|) transforme la série convergente 1/n² en la série harmonique divergente.
Une condition suffisante est qu'il existe h positif tel que f soit de signes opposés sur [-h,0] et [0,h] et qu'il existe K>=0 tel que pour tout x de [-h,h], |f(x)|<= Kx. Mais je ne sais pas si c'est une condition nécessaire, il faut essayer de tester avec des suites bien choisies pour obtenir une condition du genre

Morphisme je ne comprends pas comment tu montres que f est continue en 0.

Il faut montrer que pour toute suite convergeant vers 0, son image par f converge vers f(0), ce n'est pas contenu dans l'hypothèse!

Personnellement, je conjecture qu'une condition nécessaire (et suffisante) est que f soit localement une homothétie (au voisinage de 0).

Pour le prouver, on pourrait par exemple montrer que f est additive et continue autour de 0.

La continuité est assez rapide à obtenir : Supposons que f ne soit pas continue en 0 alors il existe e > 0 et une suite u(n) telle que pour tout n, |u(n)| < 1/n² et |f(u(n))| > e.

Alors S(u(n)) converge (absolument) alors que S(f(u(n))) diverge grossièrement.

Par contre je n'arrive pas à avoir l'additivité autour de 0...

J'obtiens la continuité en 0 de la même façon que toi, j'ai juste pas détaillé le raisonnement

f n'est pas nécessairement une homothétie, si tu prends f=Id sur les rationnels et 2Id sur les irrationnels, elle vérifie les conditions de l'énoncé mais ce n'est une homothétie sur aucun voisinage de 0.
C'est pour ça que j'ai plutôt avancé la condition |f(x)|/|x| borné sur un voisinage de 0 privé de 0 (d'ailleurs il manque une valeur absolue à K|x| dans mon message précédent).

Ah remarque mon exemple de f ne marche peut-être pas sur certaines séries de signe non constant.

Ouais la condition |f(x)|/|x| borné ne marche pas, l'homothétie a l'air d'être nécessaire.

Je pense que je tiens le bon bout, en fait il faut à chaque fois raisonner par l'absurde et construire une suite qui amène une contradiction.

J'arrive à démontrer que f est impaire au voisinage de 0 :

On considère g sa partie paire (g(x) = 1/2(f(x)+f(-x))). f impaire <=> g(x)=0.

Or g vérifie les même hypothèses que f. Supposons qu'elle soit non nulle sur un voisinage de 0, alors il existe une suite (u(n)) décroissante vers 0 et telle que g(u(n)) n'est pas nulle à partir d'un certain rang (qu'on peut supposer nul).

A n fixé, on associe l'entier k(n) tel que k(n)|P(u(n))| > 1 et on considère la suite v(n) définie terme à terme par :

u(0), -u(0), u(0), -u(0),..., u(0), -u(0), u(1), -u(1),...,u(1),-u(1),....,u(m),-u(m),...

où chaque u(m) apparaît k(m) fois.

Alors par construction S(v(n)) converge (série alternée dont le terme général tend en module vers 0) mais S(f(v(n)) diverge.

On peut faire une construction identique pour prouver que f est Z-additive au voisinage de 0, je laisse le soin à Amandin de l'écrire.

En conclusion, f est continue et Z-additive au voisinage de 0 donc localement linéaire.

J'ai des problèmes de lettres :

Lire :

"On associe l'entier k(n) tel que k(n)|g(u(n))| > 1 [...]"

et

"mais S(g(v(n))) diverge"

Bon en fait à partir de f loc. impaire on peut directement montrer en construisant des suites à la main que f est loc. linéaire. Une fois qu'on a compris comment ça marche on a pas besoin de s'ennuyer à montrer l'additivité.