Soit l'équation (E) : ln(x) = -x
Le but de l'exo est de trouver que (E) admet une solution unique noté alpha sur ]0 ; +infini[ et utiliser une suite pour l'encadrement

Soit la fonction f défini sur ]0 ; +infini[
par f(x) = x + ln(x)
1) Démontrer le sens de variation de la f sur ]0 ; +infini[
On derive f, f'(x)= 1 + 1/x
x > 0, f' > 0
Donc f est croissante

2) Démontrer que f(x) = 0 admet une unique solution, alpha, sur ]0 ; +infini[
On utilise le TVI

3) Vérifier que 1/2 <= alpha <= 1
J'ai calcule les images
f(1/2) < 0 et f(1)>0
f(alpha) = 0
f(1/2) <= f(alpha) <= f(1)
comme f est croissante 1/2 <= alpha <= 1
Si vous voyez un meilleur truc dites le moi merci

Merci pour vos réponses

Non tu as tout bien fait

y a juste la 2e question où le TVI ne suffit pas, j'espère que t'as bien rédigé

Je confirme ce qu'a dit mon VDD, il manque l'hypothèse de la stricte croissance de ta fonction

Soit une seconde fonction g définie sur ]0 ; +infini[
par g(x) = (4x - ln(x)) / 5
4) Etudier quelques propriétés de la g
a) Etudier le sens de variation g sur ]0 ; +infini[
On dérive g'(x) = (4x + 1) / 5x
Bon le signe de g' dépend de 4x +1 qui ne s'annule pas sur ]0 ; +infini[

b) En déduire pour tout réel x e [1/2 ; 1] , g(x) appartient au même intervalle
Je ne sais pas quoi faire
Seulement dire que g est continue et croissante sur ]0 ; +infini[ donc par logique g(x) appartient à [1/2 ; 1]

c) Démontrer qu'un nombre réel x appartenant à ]0 ; +infini[ est solution de (E) si et seulement si g(x) = x
Aucune idée

2) Soit la suite (Un) définié par Uo = 1/2 et pour tt entier n, par U(n+1) = g(Un)
a) En utilisant de sens de variation de g, démontrer par récurrence que pour tt entier n, 1/2 <= Un <= U(n+1) <= 1
Seul l’hérédité pose quelque problème

b) En déduire que (Un) converge vers alpha

Merci pour vos réponse

Pour le TVI j'ai rédigé, je voulais juste raccourcir

4)a) N'oublie pas d'en conclure que g est strictement croissante sur R+*
b) Calcul g(0,5) et g(1). Ces deux valeurs seront comprises dans [0,5;1]. De plus g est continue. Tu as tout pour conclure.
c) x solution de E <=> ln x + x = 0 <=> 4x-ln x = 5x <=> g(x)=x
2)a) pour l'hérédité calcule l'image de chaque terme de ton inégalité. g étant croissante l'ordre est conservé. Tu sais que Un+1 = g(Un) donc tu remplaces et l'hérédité est finie
b) theoreme du point fixe, l=g(l) <=> x solution de E <=> x = alpha

Tu es un génie Logical

Merci

Salut,

attention pour la 3) il y a aussi la continuité qui joue, pas seulement la croissance.

Ouais bien vu merci