Bon voila, j'ai quelques difficultés avec cet exercice, et malgré quelques recherches, je bloque toujours

L'énoncé:

On considère l'équation (T) d'inconnue x :

Cosx + Sinx = 1

1) Donner des solutions évidentes de (T)

2) Montrer que Cosx + Sinx = (racine de 2)Cos(x-(pi/4))

3) En déduire les solutions de l'équation (T)

Voila l'énoncé. De mon côté, j'en suis arrivé là:

1) Première solution : x = 0

Cos0 + Sin0 = 1 + 0 = 1

Deuxième solution : x = 1

Cos1 + Sin1 = 0 + 1 = 1

Troisième solution (je pense qu'elle est fausse car il me semble que x ne peut prendre qu'une seule et unique valeur, mais bon, je la donne au cas où... ) : X = pi/3 et X = pi/6

Cos (pi/3) + Sin (pi/6) = 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1

2) Là, j'ai écrit trente milles équations, et je ne sais pas du tout si elles sont bonnes...

Donc :
Première équation:

(racine 2)Cos (x-(pi/4)) =
(racine 2)Cosx - (racine 2)Cos (pi/4) =
(racine 2)Cosx - (racine 2)Cos * ((racine 2) / 2) =
(racine 2)Cosx - (2/2) =
(racine 2)Cosx - 1

Et là je suis bloqué donc j'ai fait une autre équation, car il me semble que j'ai mal développé Cos pour celle d'au dessus :
Deuxième équation:

(racine 2)Cos (x-(pi/4)) =
(racine 2)Cosx * Cos (pi/4) + Sinx * Sin(pi/4) =
(racine 2)Cosx * ((racine 2)/2) + Sinx * ((racine 2)/2) =
((2Cosx)/2) + (((racine 2)Sinx) /2)

Pareil, étant pas sûr s'il faut compter la racine ou non dans le développement, j'ai encore fait une autre équation :
3ème équation:

(racine 2)Cos (x-(pi/4)) =
(racine 2)Cosx * (racine 2)Cos(pi/4) + (racine 2)Sinx * (racine 2)Sin(pi/4) =
(racine 2)Cosx * [(racine 2) * ((racine 2)/2)] + (racine 2)Sinx * [(racine 2) * ((racine 2)/2)] =
((2*(racine 2)Cosx)/2) + ((2*(racine 2)Sinx)/2) =
(racine 2)Cosx + (racine 2)Sinx

Et malgré ces équations, je vois pas comment faire après... Je pense qu'on devrait retrouver Cosx + Sinx ou 1 à la fin mais j'en suis très loin... J'ai aussi pensé à remplacer Sinx par (1-Cosx) grâce à l'équation donnée au début mais ça m'avance pas...

Des idées, ?

Fail dans le titre

• Trigonométrie, et pas "Trignonométrie

Personne ?

Cos1 + Sin1 = 0 + 1 = 1

Ok

cos(x-pi/4)=cos(pi/4)cos(x)+sin(pi/4)sin(x)

Voila

Je me suis trompé (la fatigue surement)

C'est Cos(pi/2) + Sin(pi/2) la deuxième solution pour la première question

Ça nous donne 0 + 1 = 1

"

sly78 Voir le profil de sly78
Posté le 21 février 2013 à 19:06:25 Avertir un administrateur
cos(x-pi/4)=cos(pi/4)cos(x)+sin(pi/4)sin(x)

Voila "

Je tombe sur "Cosx + [(racine 2)Sinx /2 ]" et je vois pas quoi faire après

Blue-Koala Voir le profil de Blue-Koala
Posté le 21 février 2013 à 19:17:35 Avertir un administrateur
k*(a+b)=k*a+k*b

C'est ce que j'ai fait là :

(racine 2)Cos (x-(pi/4)) =
(racine 2)Cosx - (racine 2)Cos (pi/4) =
(racine 2)Cosx - (racine 2)Cos * ((racine 2) / 2) =
(racine 2)Cosx - (2/2) =
(racine 2)Cosx - 1

Le problème c'est que je pense que cette méthode est fausse car on doit utiliser la formule d'addition, et non pas développer. Ensuite, si c'est malgré tout la bonne démarche, je vois pas quoi faire après...

On a le droit de faire :

(racine 2)Cosx - 1
(racine 2)Cosx = 1

(je pense pas mais bon, ça m'a pas l'air improbable non plus)?

Il faut utiliser le principe de fusion
Pour simplifier les notations, racine de 2 = V2 :

cos(a) + sin(a) = V2 * ( (cos(a)/V2) + (sin(a)/V2) j'ai juste multiplié et divisé par V2

cos(a) + sin(a) = V2 * ( cos(a)*V2/2 + sin(a)*V2/2 j'ai remplacé une division par V2 par une multiplication par V2/2, ce qui est équivalent

cos(a) + sin(a) = V2 * ( cos(a)*cos(Pi/4) + sin(a)*sin(Pi/4) ) parce que cos(Pi/4) = sin(Pi/4) = V2/2

cos(a) + sin(a) = V2 * cos(x-Pi/4) parce que cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Terminé

A la dernière ligne, c'est évidemment un "a" et pas un "x"

Supercastor Merci beaucoup, c'est ça!

Par contre, t'as du chercher loin pour multiplier et diviser l'ensemble par V2 (j'ai pas entendu parler du principe de fusion, c'est en gros la factorisation de cosa*cosb + sina*sinb ?)

Blue-Koala Aucun problème avec les cours de troisième. En ce moment j'ai juste un peu de mal avec les dérivées et la géométrie (et donc la trigo). Là par exemple, j'aurais jamais trouvé qu'il fallait tout multiplier et diviser par V2 (le passage de 1/V2 à V2/2 ça encore, ça va)

Je te rassure, le nom "principe de fusion" tout comme l'idée de multiplier et diviser par un même terme ne sont pas exigibles au lycée