Bonjour

Je ne sais absolument pas par où commencer pour cette question :

Soit E={ensemble des fonctions allant de R dans R de classe C infini}

Soit F={ensemble des trinômes}={ensemble des applications associant x à ax^2+bx+c} (a,b,c) réels, x réel

Soit G={ensemble des fonctions f de classe C infini telles que f(0)=f'(0)=f''(0)=0}

Montrer que E=F(+)G (ie) F et G sont supplémentaires de E.

J'ai montré que E est un Espace Vectoriel, que F et G sont deux Sous-Espaces Vectoriels de E.

Pour commencer la preuve de E=F(+)G, je sais qu'il faut que F inter G = {0} et que E=F+G

L'inclusion F+G inclue dans E est triviale, je n'arrive cependant pas à montrer que E est inclu dans F+G.

Tout comme le vecteur nul inclu dans F inter G triviale, impossible de démontrer que F inter G inclu dans vecteur nul ...

Des pistes ?

La somme amène à reflexion, je vois pas là maintenant.

Par contre pour l'intersection:
Si f € FetG, f est de la forme ax²+bx+c ET f(0)=f'(0)=f(0)=0
En utilisant f(0) = 0, c = 0, donc
<=> f est de la forme ax²+bx ET f'(0)=f(0)=0 (=f(0))
(<?)=> f'(x)=2ax+b et f'(0)=0 d'où b=0
Donc f est de la forme ax² ET f(0)=0 (=f(0)=f'(0))
=> f(x)=2a et f''(0)=0 d'où a=0

Donc si f est dans FinterG, f est nulle. J'ai un doute sur l'équivalence directe dans ce raisonnement, mais tu vérifie aisément que la fonction nulle est dans FinterG. Donc FinterG = {0}.

Pour la somme, je le redis je vois pas immédiatement mais il est tard, le raisonnement sur les dimensions étant impossible (dimensions infinies de E et G)... Je dis ça en vrac, ptet avec un DL pour avoir un polynome + un autre truc... Jvais suivre le sujet, si quelqu'un a une idée qu'il se gène pas, j'y réfléchirai demain aussi (ou cette nuit).

a=f"(0)/2
b=f'(0)
c=f(0)

Et g = f - ce trinôme.

Stich, j'avais pensé à faire ça mais m'était perdu, tu as rendu le raisonnement clair, merci

Et prauron je vois pas ce que tu veux dire

Soit f dans E. Pour obtenir la décomposition voulue il suffit de trouver h(x) = ax^2+bx+c tel que f-h appartient à G. Je te laisse vérifier que avec les a b et c que j'ai donnés ça marche.

Effectivement j'aurais dut y penser

Merci bien en tout cas, c'est intéressant