"Soit XYZ un triangle et X',Y' et Z' les milieux respectifs des segments [YZ], [XZ] et [XY].
Montrer que XX' + YY' + ZZ' = Vecteur nul."

Tout ce qui fait partie de l'égalité de la dernière ligne est en vecteurs.

J'ai l'impression qu'il manque des données pour le faire ou alors je ne vois pas la solution qui est sous mes yeux.
Merci.

Tu as plein de façon de le démontrer.

Instinctivement, ça fait quand même assez vite penser aux médiane.

Tu peux utiliser soit :
- si G est le point d'intersection des médianes, alors tu as vectoriellement :
XG = (2/3).XX' etc... pour chaque médiane ; puistu sommes XG, YG et ZG
- ou alors, XY + XZ = 2XX' etc sur les 3 points ; et puis pareil tu fais la somme

Je ne détaille pas plus pour te laisser chercher ;)

Le problème, c'est que j'ai pas de valeurs. :/

Pas besoin de valeurs ;)

Pourquoi n'essairais-tu pas la 1èere méthoque je te propose ?

Tu traca un triangle quelconque. Tu traces les médianes.
Puis tu appelles G le point d'intersection de ces médianes.
1) Et tu cherches à exprimer les vecteurs XG, YG et ZG
2) Tu fais XG+YG+ZG.

Tu trouves quoi ?

Quand tu dis exprimer XG, c'est le passer sous la forme XX' ?
Ce qui donne par la suite : 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ'

Exactement. C'est ça.

Donc
XG = (2/3)XX'
YG = (2/3)XY' etc

Donc comme tu l'as parfaitement dit :
XG+YG+ZG = 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ'

Mais au fait que vaut XG+YG+ZG = par ailleurs ??

"Mais au fait que vaut XG+YG+ZG = par ailleurs ??"

J'ai pas compris où tu voulais en venir.

On dit que G est le centre de gravité du triangle, ça tu le sais.
En revanche, tu n'as peut être pas encore vu ce que çaimplique avec les vecteurs...

Disons qu'en introduisant une notion (qu'on appelle barycentre, mais peu importe pour l'instant), tu as :
GX+GX+GZ = 0 (en vecteur)
Et donc en inversant les lettres :
XG+YG+ZG = 0

Du coup si on en revient à XG+YG+ZG = 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ', que se passe-t-il ?

Bah on a XG+YG+ZG = 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ'= 0
Donc XX'+YY'+ZZ'=0
Mais comment j'explique "GX+GX+GZ = 0" ?

Voilà. On est arrivé au résultat.
Le problème c'est que c'est une définition. Attends je réfléchie un peu ;)

Alors ?

Bah je penses qu'on vient de faire la démonstration mais à l'envers

C'est à dire que pour démontrer que GX+GX+GZ = 0, on utilise en général le fait que g est au 2/3 de chaque médiane (XX', etc) en partant du sommet

Donc en gros j'introduis G en tant que centre de gravité et je trouve le XG 2/3 de XX' pour les trois médianes puis je dis que GX+GY+GZ = 0 pour ensuite passer tout ça à XX'+YY'+ZZ'=0 ?

Donc la réponse serait :
- sachant que GX+GY+GZ = 0
- et que G est au 2/3 blablabla, on a : GX+GY+GZ = 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ'
Donc : 2/3XX'+2/3YY'+2/3ZZ'= 0 etc...

Mais comme t'as pas encore vu l'isobarycentre...
Bon essai l'autre méthode pour voir ;)

Camiliah Voir le profil de Camiliah
Posté le 17 février 2013 à 21:26:02 Avertir un administrateur
Donc en gros j'introduis G en tant que centre de gravité et je trouve le XG 2/3 de XX' pour les trois médianes puis je dis que GX+GY+GZ = 0 pour ensuite passer tout ça à XX'+YY'+ZZ'=0 ?

Oui. ce esrait juste ! C'est très bien tu as compris.
A toi de voir si tu veux utliser ce fameux isobarycentre GX+GY+GZ = 0
Sinon ya l'aute méthode ;)

Celle du parallélogramme ?
Okay je vais voir vite fait au brouillon
Par que sortir l'isobarycentre en DM alors qu'on l'a jamais fait, la prof va à coup sûr voir qu'on m'a aidé et donc va peut-être me retirer des points

Oui. En effet.
Le truc du parellologramme normallement vou sl'avez déjà vu non ?
T'as compris comment faire ?

Bah je fait XY+YZ=2XX' car les diagonales du parallélogrammes se coupent en leur milieu
Donc ça me donne : 2XX'+2YY'+2ZZ'=XY+XZ+YX+YZ+ZX+ZY ?
Par ce que d'après ça, je peux simplifier avec Chasles en 2XX'+2YY'+2ZZ'=XX+YY+ZZ non ?
Et donc là j'arrive à la solution
C'est bon ?

Voilà. C'est ça.
Chasles te permet de dire que :
XY+XZ+YX+YZ+ZX+ZY = 0 (en regroupant les bons termes entre eux)

Donc : 2XX'+2YY'+2ZZ'=XY+XZ+YX+YZ+ZX+ZY = 0
Donc tu mets 2 en facteurs : 2 (XX'+YY'+ZZ') = 0
et donc : XX'+YY'+ZZ = 0

Bravo, tu as comrpis.
Ca te sembles être une démonstration plus acceptable que la 1ère ?