Bonsoir J'ai un exercice de maths pour demain. J'ai bien avancé mais il y a deux questions où je reste bloqué.

Voilà le sujet :

Dans cet exercice, sont envisagées deux manières différentes de démontrer la propriété P << Pur tout entier n >= 4 on a 2^n >= n² >>

Première méthode .

Soit f la fonction définie sur [1 ; + infini[ par f(x) = ln x / x

a) Après avoir calculé f'(x) , préciser les variations de f sur l'intervalle [1 ; + infini [

b) En déduire que pour tout entier n >= 4 , on a ln n /n =< ln 4 / 4

c) Comparer ln 4/4 et ln 2/2

J'ai déjà fait ces questions mais il me reste ces deux-là :

d) En déduire que la propriété P est vraie.

e) Pour tout entier n on a 2n² - (n+1)² = (n-1)² - 2. En déduire que pour tout entier n >= 4 on a 2n² >= (n+1)²

Comment faire ?

up

dernier up avant d'aller dormir

Récurrence

d) Soit n >= 4. D'après b), ln(n)/n =< ln(4)/4 = ln(2)/2 (d'après c)).
En multipliant cette inégalité par 2n, on obtient 2ln(n) =< nln(2), puis en passent à l'exponentielle, n² =< 2^n.

e) Pour n >= 4, (n-1)²-2 >= 7 >= 0, donc 2n² - (n+1)² >= 0 donc 2n² >= (n+1)².

une petite blague pour evacuer le stress du devoir a rendre le lendemain :

-C'est exponentielle et Logarithm qui entrent dans un bar. Qui est-ce qui paye?
-Exponentielle. Et Logarithm ne paie rien.

-C'est exponentielle et logarithm qui font un braquage. Qui est-ce qui va en taule?
-Exponentielle. Et Logarithm ne paie rien pour attendre...