Bonsoir

J'ai du mal sur cet exo :

On considère l'ensemble E des suites réelles vérifiant la relation de récurrence :
k €IN*, k.(uk+1) - n.(uk) + (n–k).uk-1 = 0
Montrer que E est un espace vectoriel sur IR.

Alors je sais que je dois montrer que l'addition est commutative, associative, possède le vecteur nul pour element neutre, pazrler aussi de la multiplication par un scalaire...
Mais je ne sais pas comment commencer ?
Comment montrer que + est associative ? Et qu'elle possede l'element neutre ?

Merci

montres plutôt que c'est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles

Pas la peine de t'emmerder, t'as juste à montrer que E est stable par combinaison linéaire.

C'est à dire Morphisme, je commence par quoi ?

u,v dans E, l réel => l*u+v dans E.

Oui j'avais compris ça mais c'est justement avec u,v que j'ai du mal
tu remplaces k par u ?

non tu fais u et v deux suites et tu considères la suite l*u+v

Mais comment prouver que I*u+v € R ?

€ E pardon

ben calcules k.(uk+1) - n.(uk) + (n–k).uk-1 en remplaçant u par l*u+v

Ah ok ! Je vais essayer, merci. Mais comment ça se fait qu'on puisse direct passer par la combinaison linéaire ?

parce que tu montres que c'est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles , il est clairement inclus dedans , la suite nulle est dans E , il te reste plus qu'à montrer la combinaison linéaire

Ok merci

En fait on sait déjà que E est stable pour + et . car E est l'ensemble des suites REELLES non ?

Non, E c'est l'ensemble des suites réelles qui vérifient la relation de récurrence que tu as décrite.

Oui mais comme E est l'ensemble des suites réelles qui vérifient la relation de récurrence ci dessus on ne peut pas dire que les lois + et . sont verifiées ?

Je commence les ev et je vois que je galère ..

Si t'as du mal tu peux montrer la stabilité en deux temps :
d'abord si u et v sont dans E, alors t'as pour tout k €IN*, k.(uk+1) - n.(uk) + (n–k).uk-1 = 0.
Même chose pour v.
Du coup en additionnant les deux égalités, tu en déduis que tu as aussi la relation pour u+v, qui est donc bien dans E.

Tu peux faire le même raisonnement pour vérifier que l*u est dans E.

Donc E est stable par addition et par multiplication externe, c'est un sev de l'ev des suites réelles.

Ok merci je comprends un peu mieux

Mais ce que je ne comprends toujours pas c'est pourquoi on doit montrer que c'est un sev alors qu'on nous demande de montrer que c'est un ev...
On n'a jamais fait d'ex de ce type, enfin les seuls qu'on avait fait c'était montrer que des ensembles sont des ev et on devait montrer la stabilité des lois + et .

"c'est un sev de l'ev des suites réelles"
Je comprends pourquoi c'est un sev, mais c'est plutot avec "l'ev des suites relles" que j'ai du mal...qu'est ce qui t'amene a parler d'ev de suites reelles ?

Tu as en gros deux manières de montrer qu'un certain ensemble est un ev : soit tu vérifies un à un tous les axiomes, que t dois avoir quelque part dans ton cours, soit tu montres que c'est un sev d'un ev connu. Un sev, comme son nom l'indique, est encore un ev, rien de plus.

Dans les faits, vérifier les axiomes étant pénible, on recourt plus volontiers à la méthode par sev, bien plus facile à vérifier.

Vu qu'on parle de suites réelles, bah on va s'intéresser à l'ev des suites réelles, tout simplement.

Ah d'accord, en fait montrer que E est un sev sur R revient à montrer que E est un ev sur R ? Ou pas du tout ?!