Bonsoir,

Voila, j'ai trouvé cet exo dans une fiche d'exercices supplémentaires, mais je n'arrive pas à le faire.

-> Trouver toutes les fonctions continues sur R telles que :

pour tout x de R, f(x) + (0Ix)(x-t)f(t)dt = 1

avec (0Ix)= Intégrale de 0 à x

-> Il me semble que la fonction cosinus soit solution mais je ne vois pas du tout comment commencer,

Si quelqu'un pouvait m'aider vu que j'ai une colle demain ce serait vraiment sympa.

Merci d'avance ;)

Je vais réessayer ça. Merci

ca remonte a loin pour moi, mais

tu passes le f(x) d'un coté, ca te donne 1-f(x)=reste

Et tu integres le reste avec une ipp?

Bon j'ai essayé l'ipp mais je trouve n'importe quoi, j'ai du faire une erreur.
Que prenez vous en tant que u' et que v dans l'ipp ?

f(x)=1-(intégrale de 0 à x de (x-t)f(t)dt)
= 1 - x*(intégrale de 0 à x de f(t)dt) + (intégrale de 0 à x de tf(t)dt).
On en déduit que f est dérivable, et sa dérivée s'exprime facilement en fonction de f, ce qui te permet d'obtenir une équa diff, que tu peux résoudre avec la condition f(0)=1.

Ah non ça marche pas merde.

Si en fait t'obtiens que f' est égale à -(la primitive de f qui s'annule en 0), tu peux continuer facilement à partir de là.

Désolée, je m'étais absentée. J'ai essayé la méthode de Morphisme mais j'obtiens f'(x)=-F(x)+F(0)+x avec F primitive de f. J'ai essayé de passer par les équations différentielles mais sans succès. J'ai surement du faire une erreur mais je ne vois pas où.

C'est une équa diff d'ordre 2 en F, tu ne peux pas la résoudre ?

Par contre moi j'ai juste f'(x) = -F(x) + F(0)

Si, le problème vient de ce que j'obtiens, il me reste toujours un x qui apparemment ne devrait pas etre là.

En effet, t'as dû te tromper en dérivant.

En fait quand je dérive le bloc

- x*(intégrale de 0 à x de f(t)dt)

J'obtiens (-intégrale de 0 à x de f(t)dt) - x*[f(t)](de 0 à x)

soit -[F(t)](de 0 à x) -x*f(x) + x*f(0) avec f(0)=1 d'ou mon x

La dérivée de intégrale de 0 à x de f(t)dt c'est f(x), pas f(x) - f(0).

Ah d'accord. Merci ;)