Salut j'ai 2 questions à soumettre

1 )Comment montrer que le polynome de Bernstein associé à la fonction f : [0,1] dans R convexe est convexe ?

J'ai pensé à l'inégalité g(ax+(1-a)y) < ag(x)+(1-a)g(y)mais bon ...

Par exemple pour n=1 je trouve que le polynome associé est f(0)*(1-x)+f(1)

2 ) rien à avoir avec la 1ere question.. J'ai f ]0;+infini[ ds R+ une fonction convexe et positive comment montrer que g(x)=exp(x/2)*f(exp(-x)) est aussi convexe ?

Merci d'avance

Pour le premier exo, vu que ce sont des polynômes, j'aurais plutôt pensé à dériver deux fois et tenter de prouver que la fonction est positive...
Pour n=1, c'est évident vu que la dérivée seconde est nulle.
Pour n=2, le polynôme associé à f est f(0)(1-x)²+2f(1/2)x(1-x)+f(1)x². Si tu dérives 2 fois, tu tombes sur:
2f(0)-4f(1/2)+2f(1)=2[f(1)-f(1/2)]-2[f(1/2)-f(0)] qui est positif car f est convexe.
Il y a peut-être quelque chose de similaire à faire pour les n plus grands, même si le fait d'avoir des x doit compliquer la tâche...

Oui en effet c'est des polynômes j'y avais pas fait prêté plus attention donc ils sont continues et 2 fois dérivables ...