Bonsoir à vous.

Je suis en prépa' intégré en école d'ingénieur et je rame fortement en Maths... Ayant un partiel demain, j'ai bossé toute la journée, mais je sèche tout bonnement sur les équations différentielles.

Le cours fournit par le prof est indigeste donc je me tourne vers vous pour avoir un peu d'éclaircissement.

Je sais résoudre des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants, mais dans mon programme ça se corse.

Comment résout-t-on une équation de la forme :

(1+x²)*y' - y = exp(arctan(x)/2)
y(0) = r

Ou encore de la forme

y'' - 3y = 1
y(0) = r
y'(0) = s

Bref je suis largué, merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter

Tu résous l'équation sans second membre tout d'abord (d'après ton messge tu sais faire)
Pour trouver dans le cas avec second membre tu peux appliquer la variation de la constante(?), c'est à dire faire varier la constante d'integration pour trouver la solution générale, et puis utiliser y(0)=r à la fin
Je pense que ca marche (ca remonte un peu désolé si c'est faux)
Le second c'est à peut près la même chose sauf que l'équation y"-3y=0 a une solution de la forme y(x)=Acosh(sqrt(3)x)+Bsinh(sqrt(3)x)
Sauf erreur

enfin non c'est pas à peu près la même chose pour la seconde partie de la résolution

Comment puis-je calculer la solution sans second membre lorsque le coefficient devant y est fonction de x ?

J'ai réussi à arriver là en modifier le premier système :

y' - (1/(1+x²))*y = (e^(arctan(x)/2)) * (1/1+x²)

D'après ce que tu me dis je dois le résoudre sans second membre, soit :

y' - (1/(1+x²))*y = 0

Mais quelles sont les solutions d'une telle équation ? Je ne connais la solution que dans le cas où l'équation est de la forme y' - ay = 0, et pas dans le cas où c'est y' - a(x)y = 0, cela change-t-il quelque chose ?

Bon, un ami vient de me dire que les solutions d'une équation de la forme y' - a(t)y = 0 sont :

f(x) = K * e^(A(t)), avec K une constante à définir et A(t) la primitive de a(t).

donc dans mon cas avec y' - (1/(1+x²)y = 0 j'ai comme solutions :

f(x) = K * e^(arctan(x))

Le début on va dire que j'y arrive assez facilement (trouver la solution générale de l'équation sans second membre)

Mais après :

"Pour y'+ay=b
Mettons qu'on connaisse une solution particulière y1 de l'équation: y1'+ay1=b
y'+ay=b <=> y'+ay=y1'+ay1 <=> y-y1 vérifie est solution de (H)
<=> il existe une constant c tq pour tout x, y=y1+c.exp(-A(x))"

Dans l'énoncé je n'ai que quelque chose du genre :
y' - ay = b
y(0) = c

Comment l'utiliser ? désolé je n'arrive pas à comprendre tout ton poste mais ça m'aide à avancer tout de même

Je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à saisir le truc

Dans mon exemple

y' - (1/(1+x²))y = e^((arctan (x))/2)
y(0) = r

Si je reprends ta notation j'ai :
(E) : y' - (1/(1+x²))y = e^((arctan (x))/2)
(H) : y' - (1/(1+x²))y = 0

arctan (x) est la primitive de (1/(1+x²))

Il existe une constante c telle que pour tout x : y(x) = c * e^(arctan (x))

Ensuite que dois-je faire, dans ce cas là ? Merci de ton aide en tout cas

pour retenir la methode sans apprendre par cœur la solution, (bien qu'ici c'est facile a apprendre "par cœur"

y'-a(t)y=0
donc y'/y = a(t)
donc (A(t) primitive de a(t)) tu primitive
ln y = A(t) +K
donc y=e^(A(t))e^(K) = Ce^(A(t))
bien sur j'ai renommé la constante pour coller au probleme

tu remarques ici que la constante serait nécessairement positive ... cependant tu admettra que ma methode proposé n'est pas rigoureuse dans le sens, si y s'annule je m'en bas les steacks, et si y <0 m'en fou aussi ^^

c'est une approche qui peut se faire de manière rigoureuse certes ! mais cette methode rapide permet de retrouver facilement ce genre de formule

(ps : beaucoup de méthodes d'equa diff sont calquées sur celles ci, elle peut paraitre brutale pour juste retrouver e^(A(t)) qui est tres simple a retenir et visualiser, mais elle peut se reveler pratique dans pas mal de cas)

si tu veux des exemples ou elle pourrait coller
du style y' = y² -1
tu auras y'/y² =-1
donc -y'/y² = 1 puis tu "primitive"
donc 1/y = x + C
y=1/(x+C)

exemple simple, methode efficace (je retrouve plus le nom exacte de ce genre d'equa diff...

et pour aller plus loin tu as celle de bernoulli