yo

je galère un peu sur ces 2 exos, un peu d'aide serait le bienvenu

1er exo:
soit f :[0,1] -> R+ continue tq f(0)=f(1)=0
mq pour tout q € ]0,1[, il existe x € [0,1] tq f(x+q)=f(x)

ce que j'ai fait : soit w le maximum de f atteint en z
si q € [0,z] alors en faisant varier x de 0 à -q+1 dans f(x+q) on passe de f(q) à f(z)=w puis enfin f(1) = 0
donc dans ce cas là c'est bon grace à la continuité
c'est très mal rédigé mais bon je sais pas trop comment rediger ça (ptet en faisant un tableau de variation grossier)
par contre je sais pas comment faire dans le cas où q € [z,1]

et 2e exo :
soit f une fct continue de R dans R+ tq lim x->+oo f(x) = lim x->-oo f(x) = 0
montrer que f possède un maximum
ça parait complètement évident mais j'arrive pas à le démontrer...

merci

faut deja le montrer qu'il y a un maximum ...

ensuite le tvi termine la redaction

pour le deuxieme la difficulté provient du fait que c'est une limite, sur un intervalle borné c'est beaucoup plus simple (c'est d'ailleurs ce que tu dois faire pour le premier) et ca doit t'inspirer pour R tout entier

Le deuxième est facile. Mais pense à faire deux cas : "f(x) = 0 pour tout x", et "il existe x0 tel que f(x0) > 0".

le deuxieme il y a differentes approches je pense, certaines plus rigoureuses que d'autres
c'est certes evident, mais faut trouver les reels arguments

premiere idée :

si tu arrives a montrer que sur quelque soit A,B dans R+, quelque soit f continue sur [-A;B], alors f admet un maximum
(ce qui est facile vu que c'est un intervalle compact)

ensuite avec les definitions de limite suffit de trouver l'existence d'un A tq qqsoit x entre -oo et -A f(x)=<f(-A)
de meme en +oo
tu sera amener a un intervalle compact donc un maximum dans cet intervalle, et ce sera un maximum de la fonction f car entre -oo et -A c'est inferieur a f(-A) de meme en +oo ...

c'est une idée qui est peut etre trop longue ... il y a surement plus court

pour le 1,
f continue sur un compact
si f=0 c fini
si f=/=0
als f(0) et f(1) ne sont pas des maxs
donc il existe un max entre ]0,1[
ensuite le tvi termine la chose !

pour la demo f continue sur [a,b] => f admet un max je l'ai dans mon cours en fait(jlai survolé elle a pas l'air si triviale que ça... )

sinon pour le 2 j'ai fait ça du coup:
cas il existe x0 tel que f(x0) > 0

on choisit a, b arbitrairement
f continue sur [a,b] donc f admet un max M
de plus lim f +oo = 0 donc il existe z1 tel que pour tout x >= z1
|f(x) -0 | < M/2
on fait pareil en -oo
et après on considère les ensembles finis [b, z1] et [a,z2] qui possedent aussi un maximum étant finis et c'est gagné

merci pour l'aide

Pour la 2, c'est plus élégant de considérer directement le seul intervalle [z2,z1] (qui n'est pas fini mais borné !)

ah oui, effectivement, pas con

et oui petite erreur d’inattention

f continue sur [a,b] donc f admet un max M sauf que M peut valoir 0.

Il faut impérativement s'assurer que l'intervale que tu considères contient bien le point x_0. Une façon de faire ça est d'utiliser (comme tu le fait après) la définition de limite avec f(x_0) (au lieu de M).

mais sinon je peux pas juste dire que je choisi a et b tel quel x0€[a,b] ?

Si.

ok
ça doit être enfin bon
merci tout le monde

ejkkjk: tu peux... mais si tu les prends vraiment au pif, c'est plus dur de conclure proprement.

Par ailleurs, tu connais deux limites, et chacune d'elles te donne l'existence d'un point avec des propriétés... donc ça parait logique que a et b soient ces deux points là.

si tu les prends (a et b) ...

ah, je viens de comprendre
ok