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Sujet : Comment determiner une base ?

1
Cinematique Cinematique
MP
19 décembre 2012 à 11:19:37

Salut
Je sais pas comment faire :(

On consid`ere la partie suivante de R3 : F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y + 5z = 0 et x + y − 4z = 0} .
a) Prouver que F est un sous-espace vectoriel de R3.
->J'ai montré que c'était vrai pour x, y,z = 0
b) D´eterminer une base de F.
Comment faire ?
Merci

Dorian08000 Dorian08000
MP
19 décembre 2012 à 11:24:17

peux tu réécrire correctement ton énoncé ? :)

euh, F c'est un ensemble de triplet verifiant 2 équations illisibiles :) si c'est vrai pour x=y=z=0 ca dit juste que le triplet (0,0,0) appartient a cet ensemble donc il est non vide

ensuite une base, bah donner une vrai equation ^^

evalue la dimension de F et cherche le bon nombre de vecteur( en fonction de la dimension) qui formerait une famille libre et hop tu as ta base

Cinematique Cinematique
MP
19 décembre 2012 à 11:26:52

F = {(x, y, z) E R^3 ,x-y+5z=0 et x+y-4z = 0} .

CarolineDuNord CarolineDuNord
MP
19 décembre 2012 à 11:50:02

pour montrer que c'est un e.v c'est pas suffisant faut que tu vois si c'est stable pour la multiplication par un scalaire et aussi stable pour la somme.

pour extraire une base, suffit de trouver trois vecteurs (R^3) qui verifient les equations données.

Pseudo supprimé
19 décembre 2012 à 12:04:34

Pour une base de F, il suffit de trouver un vecteur dans F puisque F est de dimension 1

[serial_bideur] [serial_bideur]
MP
19 décembre 2012 à 12:07:49

et c'est facile de voir qu'en sommant les 2 équations t'as
z=-2x et en remplaçant dans la deuxième
y=9x

donc F=vect((1,9,2)) par exemple

sauf erreur j'ai fait ça très vite :hap:

[serial_bideur] [serial_bideur]
MP
19 décembre 2012 à 12:08:41

(1,9,-2)* :hap:

[serial_bideur] [serial_bideur]
MP
19 décembre 2012 à 12:10:26

d'ailleurs c'est y=-9x aussi ,bref

F=vect((1,-9,-2))

qui devrait marcher cette fois,faut que j'arrête d'essayer de tout faire de tête je fais trop d'erreurs :hap:

Dorian08000 Dorian08000
MP
19 décembre 2012 à 12:12:13

et pour montrer que c'est un ev suffit de montrer que c'est un sous ev de R^3
donc si tu prend u et v deux vecteurs de F et l un réel : il faut que u+l.v soit dans F tout en ayant montrer que F était non vide

carolinedunord : regarde la dimension de F, et meme si F était de dimension 3, il faut que tes 3 vecteurs forment une famille libre, parce que si ils sont linéairement independant ca marque pas vraiment ...

comment trouver la dimension de F soit tu resouds le système et ca se verra, soit tu dis que c'est l'intersection de 2 plans en dimension 3 donc c'est soit un plan soit une droite et pour avoir une droite suffit d'avoir une solution du premier plan qui ne soit pas solution du deuxieme ...

mais bon de manière generale on resoud l'equation et tu as tout qui sort directement : ta base et la dimension

CarolineDuNord CarolineDuNord
MP
19 décembre 2012 à 12:21:15

oui dimF=1

de tete j'ai (-1 9 2)

Cinematique Cinematique
MP
19 décembre 2012 à 14:49:43

Je comprend rien à ce que vous dites.
Je sais pas multiplier par un scalaire moi .. :(
Et pourquoi dil F = 1 ?

Cinematique Cinematique
MP
19 décembre 2012 à 15:32:20

:up:

Dorian08000 Dorian08000
MP
19 décembre 2012 à 15:37:16

dimension F=1

un scalaire tu sais ce que c'est ?

par exemple sur un R espace vectoriel, les scalaires ce sont les reels

sur un K espace vectoriel, les scalaires sont les elts de K

sur un C espace vectoriel, les scalaires sont les complexes

sur un Z/pZ espace vectoriel, les scalaires sont les elts de {0,...,p-1} modulo p

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