Bonsoir à tous

J'ai un exo de 3 questions mais je galère un peu

Soient f et g des fonctions continues de [0,1] dans R.
Soit h(x) = Sup(f(x)+t*g(x))

1) Montrer que h existe sur R et que pour tout t€R
Il existe y€[0,1] tel que h(x) = f(y) + t*g(y)

2) Montrer que pour tout (t,u)€R^2
h(t)-h(u) <= f(y)+tg(y)-(f(y)+u*g(y))

3) En déduire que h est lipschitzienne

Merci beaucoup de votre aide

Où est-ce que ça coince ?

Ba dès le début en fait

Déjà pour prouver l'existence, il faudrait montrer que l'ensemble f(x)+t*g(x) est non vide (trivial) et majoré.

Pour la suite, je sens que je dois utiliser le TVI mais je ne vois pas comment.

Théorème des bornes.

Le TVI te donne l'existence de solutions à des équations du type f(x)=0, ça ne va pas t'aide ici, puisque tu cherches à montrer une majoration.

Quelles hypothèses t'assurent que des fonctions sont bornées ?

Nan mais quand je parlais de TVI, c'était pour prouver l'existence de y

Pour la borne supérieure, c'est une autre histoire

Prauron t'as donné la réponse, le théorème ne te dit rien ? Ledit théorème te donnera à la fois l'existence de h et celle de y, en plus.

Pour l'existence du Sup, il faut utiliser le théorème de Weierstrass et normalement ça conclut.

Merci j'ai réussi la question 1 en démontrant à l'aide du théorème des bornes

Pour la 2 ça se corse

C'est un raisonnement à la fois plus subtil et tout bête.

h(u), est, par définition, le sup des f(x)+ug(x). Donc, pour un x quelconque, on peut affirmer que f(x)+ug(x) <= h(u). Essaye de finir en partant de cette inégalité.

Ouais c'est bien ce que je pensais, tes x c'est des t.

Merci j'ai trouvé Hachino

Prauron Oui la fonction c'est h(t) = Sup(f(x)+t*g(x))

et non h(x) (faute de frappe)

Enfin pour la 3

J'ai factorisé l'expression mais il me manque les valeurs absolues

h(t)-h(u) <= k (t-u)

Il faudrait montrer que t-u >= 0 (pareil pour h(t)-h(u) ) pour qu'il soit égal à sa valeur absolue

Si tu peux affirmer que x <= |x|, c'est gagné, en échangeant le rôle de u et t.

Donc j'obtiens h(t)-h(u) <= k |t-u|

Il m'en manque toujours une. J'ai essayé en multipliant par -1 et en essayant de bidouiller un peu mais je ne trouve pas la bonne inégalité.

Que peux-tu dire sur la quantité h(u)-h(t) ?

Elle est négative ? Mais comment le justifier ?

T'en sais rien à vrai dire.

Non, juste avec le raisonnement plus haut avec t et u, en échangeant leurs rôles.

Oui

Ba je change les rôles mais je ne vois pas comment je peux faire apparaître (comme par magie ) des valeurs absolues

Si x <= y et -x <= y, que dire de |x| ? C'est tout ce dont tu as besoin pour conclure.