Salut !
J'ai un exercice de maths à faire et je bloque un peu.
Voici l'énoncé :
Soit (Un) la suite définie sur N par : Pour tout n€N, Un = n² / 2^n
Calculer les quatre premiers termes de cette suite, et démontrer qu'à partir d'un certain rang que l'on précisera, Un+1 / Un < 1 (càd que la suite décroît). Conclure quant à la monotonie de cette suite.

Pas de problème pour calculer les 4 premiers termes (J'ai trouvé U0 = 0, U1 = 1/2, U2 = 1, U3 = 9/8)
Le problème, c'est pour la démonstration J'ai essayer de calculer U(n+1) / U(n) mais ça me semble un peu "casse cou" et pas clair ... Je note quand même ce que j'ai trouvé :
U(n+1) = (n+1)² / 2^(n+1) = (n² + 2n +1) / (2^n *2) et donc :
U(n+1) / U(n) = [(n² + 2n +1) / (2^n *2)] / [n² / 2^n] <=> [n² + 2n +1) / (2^n *2)] * [n² / 2^n]

Et à partir de là, deux problèmes : Est ce que c'est la bonne méthode, déjà ?
Comment faire 2^n * 2 * 2^n ?

Merci d'avance !

Si tu passes aux ln : Un = 2.ln(n) - n.ln(2)

f(x) = 2.ln(x) - x.ln(2)
f'(x) = 2/x - ln(2) donc pour x > 2/ln(2) ~2.88, f' < 0 et f est décroissante donc pour n >= 3, (Un) est décroissante

pardon ln(Un) = 2ln(n) - n.ln(2)

Je dois avouer que je n'ai pas tout compris ...

En clair, ta suite est la restriction à N d'une fonction réelle. Or, sur R, on dispose des dérivées pour étudier les fonctions. Si on sait comment elle se comporte sur R, on sait en particulier comment se comporte la suite sous-jacente.

Je n'ai pas encore étudié la dérivation des fonctions.

Wat ? Mais t'es en quelle classe ?

1° S

Sinon Un+1/Un = 1/2 (1 + 1/n)² -> 1/2

donc il existe un rang N tel que pour n >= N, Un+1/Un < 1

1/2 (1 + 1/n)² < 1
(1 + 1/n)² < 2
1/n < racine(2) - 1
n > 1/(racine(2)-1) ~ 2.414

Ah ok.

Bon, bah retiens au moins que derrière ta suite, il y a une fonction réelle qui est plus facile à étudier, car on a plus d'outils. Grâce à la dérivée, on peut savoir explicitement où se trouve le maximum et ainsi déduire le premier n tel que Un+1/Un décroît. C'est le sens du message d'IT plus haut.