J'ai fais sa vite fait essaye de voir où tu aurai coincer et si des fautes ne se sont pas glisser par-ci par-là.
Pour tout l'exercice k est un élément de Z
1. t-> sint et t -> t^3 sont toutes définies sur R donc D(x)=R, Même raisonnement pour D(y).
2.
(a) x:t->sin^3(t) est clairement 2Pi périodique.
Pour y(t) tu dis que cos(t) et cos^4(t) sont 2Pi périodiques donc y l'est également.
(b) x(-t) = sin^3(-t) = (-sin(t))^3 = -sin^3(t) donc x est impaire. y(-t)=y(t) donc y est paire.
(c)Puisque x et Y sont 2*Pi périodiques, on peut se limiter à une étude sur [-Pi, Pi] pour obtenir la totlité du support, or par parité il suffit de faire l'étude sur [0,Pi].
X étant impaire et Y paire, il suffit d'éffectuer une symétrie d'axe Oy pour obtenir la courbe entière.
3) x'(t)=cos(t)*3*sin^2(t)
x'(t)=0 <=> t = 0+k*Pi ou t=(Pi/2)+k*Pi
y'(t)=-sin(t)-(-sin(t)*4*cos^3(t))
= sin(t) (4*cos^3(t)-1)
y'(t)=0 <=> t=0+k*Pi ou t= Arccos(1/(4^(1/3)))
Points singuliers: t=0+k*Pi donc t=0 et t=Pi sur l'intervalle.
Points multiples:
4)f'(1) = (3*cos(1)*sin^2(1) ; sin(1)(4*cos^3(1)-1) => tangente oblique dirigée par U(3*cos(1)*sin(1);4*cos^3(1)-1).
En t=Arccos(1/(4^(1/3))) on a f'(t) = (A;0) donc la courbe admet une tangente horizontale en ce point.
5) (a) (sin(t))^3 = (t-t^3/6 + o(t^3))^3 = t^3 + o(t^3)
Ex2]
1) x^3 + (t*x)^3 = 3x*(t*x) <=> x^3(1+t^3) = 3*x²*t puis tu conclus.
2)D(x)=D(y)=R\{-1} Régularité?
3) Il suffit de l'écrire.
Quand t parcourt ]0,1], 1/t décrit l'intervalle [1;+Inf[ on obtient donc le cupport pour t E ]0,+Inf[ en étudiant x et y sur ]0,1] puis en effectunt une symétrie par rapport à la 1ere bissectrice.
Quand t parcourt [-1,0[ , 1/t décrit l'intervalle [-Inf,-1[ on obtient donc le support pour t E ]-Inf,0[ en étudiant x et y sur ]0,1] puis en effectunt une symétrie par rapport à la 1ere bissectrice.
Finalement, on restreint l'étude à ]-1,1] puis, on récupère le support par symétrie par rapport à la première bissectrice.
4)x'(t) = 3(1-2t^3)/((1+t^3)²)
x'(t)= 0 <=> t=(1/2)^(1/3)
y'(t) = 3(2t-t^4)/((1+t^3)²)
y'(t)=0 <=> t=0 car 2-t^3>0 sur ]-1,1]
Tu fais ton tableau avec:
x(0)=0, x((1/2)^(1/3))=2*(1/2)^(1/3)=0.53, x(1)=3/2
y(0)=0, y((1/2)^(1/3))=(2)^(1/3)=0.42, y(1)=3/2
Il n'y a pas de points singuliers.
f'(0)=(A,0) tangente horizontale (tu trouvera l'équation)
f'(1) = (-3/4,3/4) tangente oblique dirigée par u(-1,1).
5) y(t)/x(t) = t -> -1 quand t tend vers -1
Puis: y(t) - (-1)*x(t) = 3*t/(1-t+t²) -> -1 qd t->-1 donc une asymptote d'équation y=-x-1.
Te reste plus qu'à tracer.
