Bonjour a tous, voilà je dois étudier la fonction suivante :
f:|R--> C
|x--> (1+ix)/(1-ix)
Je dois dire si oui ou non elle est injective , surjective ( faut le démontrer aussi ).
Donc je pense qu'il faut partir de la définition de la surjectivité et de l'injectivité mais je ne sais pas quoi faire après.
Merci de m'aider a me lancer dans cet exercice.

up

Met (1+ix)/(1-ix) sous forme exponentielle la surjectivité va devenir assez claire(y'aura des formules trigo)

pour l'injectivité tu résous (1+ix)/(1-ix) = (1+iy)/(1-iy) en développant tu obtiens directement x = y

Le plus dur c'est la surjectivité de R dans C je dirais

Ok merci , je vais faire ça alors , je reviendrai demander de l'aide si je trouve pas la fin

Bon pour l'injectivité pas de problème , mais pour la surjectivité , les 2 modules vallent racine de (1+x²) donc après pour trouver la forme trigo , je bloque

up

0 a t-il un antecedent?
Quelle est le module de f(x)?

Elle est surjective si tu restreins le domaine d'arrivée à C\{-1}.
Suffit de prendre z appartenant à C\{-1}, écrire (1+ix)/(1-ix) = z, et exprimer x en fonction de z pour prouver l'existence d'un (unique) antécédent. En prime ça te donne la fonction réciproque.

Ah ok c'est de R dans C...

oui , c'est R dans C et sinon , 0 n'as pas d'antécédent non ? donc elle est pas surjective . Et pour le module c'est 1 ça je sais quand même :p
et on peut dire que f(R)=U\{-1}
Il suffit juste de montrer le contrexemple avec 0 donc..

up

Peut être qu'on te demande dans quel domaine elle est injective

Dans ce cas là ça revient à trouver son ensemble d'arrivée

• surjective

Elle est surjective si et seulement si l'ensemble d'arrivée c'est f(R). Et f(R) c'est effectivement U\{-1}.

non , elle va de R dans C donc voila, et comment je justifie ça prauron ? parce que c'est la question d'après f(R)=U\{-1}
et je l'ai déjà montré !

Comment tu justifies quoi ?

qu'elle est surjective , je dit juste qu'il faut que son ensemble d'arrivée doit être f(R) pour qu'elle soit surjective ? je dit que si x appartient a R alors f(R)=y avec y qui appartient a f(R) non ?

Mais elle n'est pas surjective justement. Suffit de trouver un complexe qui n'a pas d'antécédent pour le prouver. 0 par exemple.

ah et bien c'est bon alors :p
mais sinon , pour trouver f-1(R) , on cherche quand est-ce que 1+ix/1-ix est réel , mais c'est pour quel valeur ?
déjà il y a 0 mais après j'arrive pas a voir la suite ...

(1+ix)/(1-ix) c'est un complexe de module 1. Des complexes du module 1 réels y'en a que 2 : 1 et -1.
-1 on a vu que c'était possible, donc y'a que 1, ce qui correspond à x = 0.
f^(-1)(R) = {0}.