Hello

On me demande de montrer que si un corps est algébriquement clos

alors k valeur propre de l'endomorphisme de f² est carré d'une valeur propre de f.

Vous auriez une méthode en passant par les matrices ?
(pas par les endomorphismes, j'en ai déjà trouvé une)

Par exemple en débutant par "la matrice de f² est triangulaire supérieure dans une base"..

Y'a un gars (pas celui qui a résolu 2 non racine dans Q(r)) qui m'a dit qu'il a commencé comme cela et que ça tenait en quelques lignes.

Comme il n'a pas donné sa méthode, je me demande comment il a fait.

Par exemple, si on a une matrice f avec une valeur propre r.
En multipliant sa matrice dans une base B au carré, (visuellement) on voit bien que r² est valeur propre de f²..

Mais ça ne marche pas dans l'autre sens f² -> f

- Sinon ça peut se faire avec le déterminant aussi ?

det(AB) = det(A)det(B) ne marche pas avec le polynôme caractéristique ?

Non rien qu'à cause du degré tu vois bien que ça peut pas marcher.

Sinon je vois pas bien ton problème... La démo avec les matrices ça devrait être la même.

Lol ok, je me prenais la tête avec une histoire de base différente..

Genre
2 0
0 2

est égal au carré de

1 - 1
-1 -1

----

En passant par les endo, j'ai juste dit que (x²-a) = (x-b)(x-c)
(a étant carré de b et c)

Puis comme a est valeur propre de f²,
(f²-a*id)=(f-b*id)(f-c*id) (le produit commute)

Grâce au kernel, j'aboutis à la réponse.
Suffit effectivement de remplacer f par sa matrice...

Mais je vois pas ce que ça vient faire le "triangulaire supérieure" ? Ca pourrait être une étape utile dans la résolution du pb ?

J'ai rien pigé à la démo

ah oui nan c'est bon n fait tu as juste dit b = sqrt(a) et c = - sqrt(a) ?

enfin ok les racines du polynôme avec corps algébriquement clos plutôt

Comme il est algébriquement clos, ça prouve l'existence de b et c.
Par identification, a est bien carré de b et c.

Mais je ne vois pas à quoi ça sert de dire que la matrice est triangulaire supérieure ???

Tu prends B une base trigonalisante pour f et f² (ça existe parce que f et f² commutent) et A la matrice de f dans la base B. Elle est triangulaire avec les valeurs propres de f sur sa diagonale. La matrice de f² dans la base B est A². Elle est triangulaire supérieure et sur sa diagonale y'a k, qui a donc été obtenu comme carré d'un élément diagonal de A, donc d'une valeur propre de f.

Mais ta démo est meilleure, je trouve. Elle n'utilise que la définition d'une vp et la clôture du corps.

Donc c'était ça :

"Tu prends B une base trigonalisante pour f et f² (ça existe parce que f et f² commutent)"

qui me manquait. Je vais essayer de le démontrer de mon côté.

Merci Prauron.