X^3 - y^3 = 1000, trouver les solutions dans N.
J'ai fais une longue solution avec des systeme et tout ça et j'ai trouver que la solution x = 10 et y = 0 et certes c est la seul solution mais le prof m a dis qu on peut demontrer simplement que l equation n'a pas de solution dans N ( appart x=10 et y=0 )

théorème de fermat wiles

Oui mais comment l'utiliser alors ? je ne saurai biensur pas le démontrer x)

Si tu veux utiliser FW, tu réécris juste ton équation x^3 = 10^3 + y^3.

J'ai pas le droit de l'utiliser vue qu'on l a pas vue en cour ^^'.. je prof m'a bien dis qu'il y aune façon assez simple pour montrer qu elle n a pas de solution

J'ai une solution, mais c'est un poil bourrin.

Posons pour la suite Y = y^3 et réécrivons l'équation sous la forme Y = x^3-10^3.

On a alors (x-10)|Y, ie x = kY+10, k € Z. Avec ce changement de variable, après simplification, l'équation devient :

Y*(k^3*Y^2 + 30k²Y+300k-1)=0.

Si on exclut le cas Y=0 (dont on sait qu'il donne une solution), on est ramené à une équation du second degré ayant par hypothèse une racine réelle. Donc son delta doit être positif ou nul. Or, on a Delta = 4k^3(1-75k) < 0 si k est non nul. Mais k=0 redonne x=10 et y=0, ce qu'on avait exclu. Ainsi, l'équation admet bien pour seule solution le couple (10,0).

(Ne pas lire le post précédent, c'est de la daube. M'apprendra à aller trop vite. )

X^3-y^3=(x-y)(x²+xy+y²)

Ça t avancera peut-être

(x-y)(x²+xy+y²) = 2^3 * 5^3

sachant que dans N*, (x-y) < (x²+xy+y²), ça ne te fait pas beaucoup de solutions à tester

En raisonant modulo 10 tu peux montrer que les seuls solutions sont 10 et 0 je pense