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Bonjour,
Je ne comprends pas quand on passe au modulo inférieur.

Pourquoi 1475 congruà 5 mod 7 doit passer à 1475 congruà -2 mod 7 alors que 5 < 7

pareil pour 1476
Merci d'avance

Il suffit de comprendre ce qu'une congruence veut dire. Quand on dit que p est congru à q modulo r (p=q[r]), ça veut dire que r divise p-q. Ici, dire que 1475=5[7] veut simplement dire que 1475-5=1470 est divisible par 7 (ce qui est vrai vu que 1470=7*210). Mais on peut aussi écrire 1475=-2[7] car 1475-(-2)=1477 est divisible par 7 (c'est égal à 7*211). En fait, tu peux remarquer que 1475 va être congru modulo 7 à tout nombre de la forme 5+7k, avec k entier relatif.

En pratique, c'est assez utile car une propriété te dit que si a=b[p] et c=d[p], alors ac=bd[p] ("on peut multiplier les modulo" en bref). Mais si tu as des "gros" nombres, ces multiplications vont être un peu fastidieuses. Ici, il est utile de remplacer le 5 et le 6 modulo 7 par -2 et -1, ce qui permet d'alléger le calcul suivant (au lieu de calculer 3*4*5*6, tu calcules 3*4*(-2)*(-1)).

sauf que 3*4*5*6=360 =/= 7*n
et 3*4*(-2)*(-1) = 24 =7*n

Ce que je ne comprends pas en fait, c'est comment reconnaître un "gros" nombre ...5 est ici considéré comme "gros" mais il est tout de même inférieur à 7 n'est ce pas?

et 4 aussi pourrait être considéré comme un gros nombre puisque 4-7=-3 ?

"sauf que 3*4*5*6=360 =/= 7*n
et 3*4*(-2)*(-1) = 24 =7*n"

Non c'est faux, 24 n'est pas divisible par 7 (et heureusement, sinon ça voudrait dire que la propriété sur la compatibilité du modulo avec le multiplication serait fausse ).

En pratique, reconnaître un "gros" nombre ça se fait un peu au feeling... Ici, tu aurais très bien pu remplacer 4 par -3 en effet. Dans cet exemple ça ne change pas grand-chose de changer les modulo parce que les calculs ne sont pas très longs, mais imagine que tu aies à multiplier trois nombres congrus à 980 modulo 1000... Il vaut mieux faire (-20)^3 plutôt que 980^3 non ?
(et pourtant on a bien 980<1000)

je vois, donc ici ils ont fait ca pour simplifier le calcul mais au final on aurait pu écrire congru à 360 mod7 c'es la même chose que 24 mod 7 c'est ca?

Merci en tout cas pour tes réponses

Oui c'est ça, c'est juste histoire de gagner un peu de temps dans les calculs, mais le fait de calculer le 360[7] puis de revenir au 3[7] est un raisonnement parfaitement valable.

Okay ! merci !
par curiosité tu es où actuellement ? (lycée? études?)

Je suis en thèse en maths appliquées

Haha Je vois Je retourne à mon cours, bonne journée